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Prenant 1'axe des z dans Ie sens de la pesanteur, et désignant 

 par z et z Y les ordonnées des points extrêmes, 1'intégrale qui 

 doit être minimum sera encore 



ds 



v [/Z'-Zq 



donc 



J ^ 



y 



Vz — z dt 



et les équations (8) deviennent 



d 2 x ^dF 



dt* T dx 



d*y , dF 



dP ^ dy' 



<Pe _1 dF 



d& " ' ~~ 2 (*— ^o) 2 d*' 



Eliminant X entre les deux premières Ton obtient 



dF_ d^x d£d*y_ 

 dy dt 2 " dz dt 2 " 



Si la surface est de révolution autour de 1'axe des z, on a 



F(x,y,z) = x 2 + y 2 -— ?(*), 



de sorte que la dernière équation donne dans ce cas 



d 2 x d 2 y 



dont 1'intégrale est 



dx dy 



-r — x-^—c, 



dt dt 



