( 263 ) 



De kromme M (xP yü) is door p q -f- p + q willekeurig op 

 F% aangenomen punten bepaald. Gemakkelijk leidt men ook 

 deze reeds door chasles meegedeelde stelling *) af uit het feit, 

 dat het aantal coëfficiënten van (10) door (p -f- 1 ) (q -f- 1) voor- 

 gesteld wordt. Wanneer van twee krommen M (xP y9) aange- 

 wezen is, dat ze beide de lijnen van een bepaald stel tot be- 

 schrijvende lijnen hebben — en wanneer p en q gelijk zijn ook 

 zonder dit — vallen de krommen dus samen als zg pq -{- p -\- q 

 willekeurig op F 2 aangenomen punten gemeen hebben. 



Liggen er nu — en hiermee kom ik op niet door chasles 

 betreden terrein — van de p 2 -f- %p punten, die een kromme 

 M [xP yP) bepalen, p% + p -f- q op een kromme M (xP i/Q) waarbij 

 ;; j> q is, dan bestaat AI (xP yP) uit de vereeniging van de krom- 

 me AI (xP y<ï) met de p — q beschrijvende lijnen van F% 3 die men 

 door de p — q niet op M ,xP y<f) gelegen bepalende punten 

 brengen kan f). Want omdat deze lijnen te zamen op iedere 

 richtlijn p - - q snijpunten geven, vormen zij met M (xP yS) 

 een kromme M (xPyP), die door de gegeven p 2 -f Zp bepalende 

 punten gaat en door deze punten gaat slechts één zulke kromme. 



Met behulp van de laatste stelling toont men nu zonder 

 moeite aan, dat door iedere kromme 31 xP ijl) een enkelvoudig 

 oppervlak F F gaat als p > q is. Uit het bovenstaande blijkt 



namelijk — in aanmerking genomen dat F p en dus ook de 

 doorsnee van F 2 en F p zoowel door iedere beschrijvende lijn 



bediend („Philosophical Magazine", Juli 1861, deel 23 v,d. 2d e Serie, blz 35—38); 

 zoo als dit na een scbrijven van cayley door chasles zelf wordt erkend in het 

 derde deel van zijn verhandeling „Comptes Rendus", deel 53, blz. 1203 „Génération 

 des courbes gaucbes de tous les ordrcs sur Phyperboloide au raoyen de deux 

 faisceaux de courbes d'ordre inférieur — Propriétés des faisceaux de courbes" 

 Daarbij zijn de stukken, die de twee door een punt m gaande beschrijvende lijnen 

 van de twee door een vast punt gaande beschrijvende lijnen afsnijden de coördina- 

 ten van dit punt m. Van deze coördinaten onderscheiden zich de door mij gebruikte 

 alleen door baar meer al^emeene strekking. 



*) „Comptes rendus", deel 53, blz. 1076. -/Propriétés generales des courbes tra- 

 cées sur 1'hyperboloide" art. 17 (het tweede deel der verhandeling.) 



f) Deze stelling is een bizonder geval van een meer algemeene, die met betrek- 

 king tot de ruimtekrommen M (xp yi) dezelfde rol vervult als de bekende stelling 

 van jacobi met betrekking tot vlakke kromme lijnen. Vergelijk omtrent deze stelling 

 die door jacobi is gegeven in het Journal van creli.e Band 15, blz. 292. «De rela- 

 tionibus, quae locum habere debeut, etc. 1 ' o. a. cremona. «ïlbene Curven" blz. 62, 



