( 290 ) 



mee. De gemeenschappelijke beschrijvende lijnen van deze cc 

 paren kegels zonden ten getale van oc{?/t l — l)(t»£ — 1) voorhan- 

 den zijn, wanneer daarbij de verbindingslijn van twee gemeen- 

 schappelijke punten niet tweemaal geteld werd. Het aantal is 



«(«- 1) 

 dus u{m x — 1)(«2 2 — 1) *)• 



27. Het oppervlak £(],£, 3) van art. 25 heeft 



W2 1 ^2 772 3 / 



(»j + «? 2 + w 3" ~ 3 ) + ^1™2 W 3 + h m $ m \ + *S«1*J 



*) De 27 rccbte lijnen, die gelegen zijn op een oppervlak F z , venkelen zich, 

 zooals bekend is, met betiekkiug tot een op het oppervlak gelegene kromme ll 3 



(waarvoor h = 1 is) iu drie groepen ; in 6 lijnen a x ,a. 2 a 6 die geen, 6 lijnen 



b lt b. 2 b$ die twee en 15 lijnen c lj2 , c 1>3 , ff 8 4*"* r S,8 ^ie ccn l ,uut met 



deze kromme gemeen hebben. De lijnen a snijden elkaar niet; de lijne;: 6 snijden 

 elkaar niet; twee lijnen c snijden elkaar, wanneer onderde beide paren van indices 

 geen cijfer tweemaal voorkomt. Een lijn a snijdt alle lijnen ó behalve die welke 

 dezelfde index heeft en de lijnen a en b snijden een lijn c, wanneer de index van 

 die lijn a of b tot de beide indices vau de lijn c behoort (vergelijk crlmona, 

 „Oberflachen," bis. 178, art. 826). 



Een oppervlak F s is door een kromme Il 3 en drie lijnen, die elkaar niet maar 

 de kromme elk iu een punt snijden, ondubbelzinnig bepaald (vergelijk sturm, 

 „Synthetische Untersuchungen," blz. 234 in het midden). Ziju deze bepalende elemen- 

 ten gegeven, dan moeten dus ook de 27 rechte lijnen ondubbelzinnig bepaald zijn. 

 Dat dit het geval is, blijkt uit het voor het aantal gemeenschappelijke koorden bo- 

 ven gevondene getal. 



Hierbij is de eerste vraag, of men de drie lijnen duor c i9 r l3 en c lf4 dan wel 

 door c x 3 , c x 3 en r 2 ,3 voorstellen moet. liet antwoord dwingt tot het laatste. 

 Want de drie lijnen, die een punt met R z gemeen hebbeu, moeten verder willekeurig 

 ziju willen ze met R s een F 3 bepalen en dit ziju de lijnen c t 2l c llZ en c x 4 niet. 

 Immers de lijn b x moet op deze drie rusten en 7? 3 tweemaal snijden. Eu nu zal 

 in het algemeen de hyperboloïde, die drie verder willekeurig aangenomen lijnen tot 

 richtlijnen heeft, de kromme #3 niet in drie nieuwe punten snijden, waarvan er 

 zich twee onderling door een op het oppervlak F 2 gelegen lijn laten vereenigen. 



Zijn dus de drie lijnen c x 2 , c lti en c 2 3 , dan zal de lijn 6, koorde moeten zijn 

 van 7? 3 en van de als 2ü 2 opgevatte vereen iging van c x s en c x 3 . Wijl deze R % met 

 R % twee punten gemeen heeft, is het aantal der niet door deze punten gaande ge- 

 meenschappelijke koorden (wijl m x = 3, m. 2 = 2, h x = 1., h. l — \ en a = 2 is) een. 

 De lijnen b v b», b s zijn dus ondubbelzinnig bepaald. En dit is ook het geval met 

 de lijnen a x , a. 2i a 3 . Want a x moet de vier lijuen b. 2 , b 3} c X2 en c x 3 snijden en is 

 dus de doorsnee van het vlak gaande door b. 2 eu c 12 met het vlak gaande door b z 

 en c x 3 , enz. Verder zal dan de hyperboloïde, waarvan a x , a. 2 en a s de richtlijnen 

 zijn, de kromme R s snijden in zes punten, die zich twee aan twee door drie be- 

 schrijvende lijnen vau dit oppervlak moeten laten vereenigen; dit zijn de lijnen 

 b A > b*, b R , enz., enz. 



