( 309 ) 



q? n —\ , die onderling projectief zijn, wanneer men de eerste 

 poolkrommen van de drie punten lf 3 , O s met betrekking tot- 

 dezelfde kromme C n uit den oorspronkelijken bundel met elkaar 

 doet overeenkomen. Stelt men nu de meetkundige plaats van 

 de snijpunten van de overeenkomstige krommen van de bundels 

 y l n — 1 en <A— 1 door Ch{n—\) , die van qp^—i en <jp\_i door 

 C\ n -\) voor, dan moeten de gezochte dubbelpunten van de 

 krommen G n , wijl ze op beide krommen C'2( n — I) gelegen zijn, 

 tot de 4s(n — l) 2 snijpunten van beide behooren. En wijl alleen 

 de («— l) 2 basispunten van (p l n —\- die op beide 6Y(*»_Li)*'8 

 gelegen zijn, niet aan de vraag voldoen, is het aantal dubbel- 

 punten bij een kroramenbundel C n met alleen enkelvoudige 

 basispunten 3(rc — l) 2 . 



Onderstel ik nu voorloopig, dat er onder de basispunten van 

 den bundel C n slechts één dubbelpunt a 1 voorkomt, en neem ik 

 dit punt a 1 als 1 aan, dan moet ik met cremona *) boven- 

 staande redeneering een wijziging doen ondergaan. De krommen 

 van den met a l overeenstemmenden bundel y l n -.\ hebben dan a Y 

 tot gemeenschappelijk dubbelpunt en de raaklijnen aan die 

 krommen in dit punt vallen met die aan de overeen komsti o-e 

 krommen C n in dit punt samen. Wijl de bundel C n twee 

 krommen bevat, die a Y tot keerpunt hebben, en de keerraak- 

 lijnen t' en f dier beide krommen C n en C" n in dit punt de 

 dubbelstralen zijn van de involutie der raaklijnenparen in a Y aan 

 de krommen van den bundel O n , is dit bij den bundel f^—i 

 met de overeenkomstige krommen insgelijks het geval. De 

 krommen van de beide andere bundels cp 2 n — \ en <^ 3 «__i hebben 

 echter in a l een enkelvoudig basispunt ; de krommen uit beide, 

 die met de krommen C n en C" n overeenstemmen, raken de lijnen 

 t' en t" aan. 



Uit dit alles volgt, dat de krommen C S 2(n—\) en C^2(n—\\ 

 in het beschouwde geval in het punt a Y een gemeenschappelijk 

 punt hebben, dat voor elf snijpunten telt. Want elk der beide 

 krommen heeft vooreerst in a x een drievoudig punt, omdat dit 

 punt dubbelpunt is voor alle krommen van y 1 »—] en enkel- 

 voudig punt voor alle krommen van (pV_i en ^ 3 «_i. En bii 



*) „Ebene Curven", blz. 122, art. 88 en blz. 



