( 318 ) 



Beschrijft p een rechte lijn, dan doorloopt n een kromme C 3 , 

 die *j, wijl ze punt voor punt met de rechte lijn overeenstemt, 

 een geslacht mü en dus zes dubbelpunten hebben moet. Wer- 

 kelijk heeft zij de zes punten ft tot dubbelpunten, enz. 



Wanneer ik mij nu wend tot de betrekking tusschen ;; en x, 

 dan moet eerst blijken, dat met een willekeurig punt p een be- 

 paald punt x overeenkomt en omgekeerd. Trekt men door p 

 twee willekeurige lijnen /j en / 2 en projecteert men de uitein- 

 den van de bogen, die deze lijnen van den cirkel M afsnijden, 

 uit op /als 6-j, tj en r 2 , / 2 ,dan zullen de kegelsneden (^ a 3 6 ^ / T ) 

 en (aiö 2 ö.v 2 / 2 . elkaar in een vierde punt # snijden. En neemt 

 men omgekeerd een willekeurig punt x aan, dan is het bij dit 

 punt behoorende punt p niets anders dan het snijpunt van de 

 koorden der bogen van ;]/, die uit op l geprojecteerd punten- 

 paren opleveren behoorende tot de involutie, die de kegelsneden- 

 bundel (a x a 2 6 #) op / afteekent. 



Door aan te nemen, dat met ieder puntenpaar p, n een op- 

 lossing van het oorspronkelijke vraagstuk in verband staat, zou 

 men tot het besluit moeten komen, dat het punt x s het ge- 

 zochte dubbelpunt, een geheel willekeurige ligging had. Wat 

 natuurlijk ongerijmd is. Dat niet ieder puntenpaar /?, n tot een 

 oplossing voert, dit kan alleen hieraan liggen, dat het punt x 

 bepaald met behulp van het punt p in het algemeen niet over- 

 eenstemt met het punt x, dat met behulp van het overeenkom- 

 stige punt 7T wordt gevonden. En met deze opmerking treedt 

 de oplossing een nieuwe phase in. 



Gaat men uit van een willekeurig punt /;, dan vindt men 

 een bepaald punt x, dat ik x p zal noemen, en een punt n, dat 

 op zijn beurt weer tot een punt x n voert. Nu is de vraag: hoe 

 dikwijls kan men een punt p vinden, waarvoor de dus verkre- 

 gen punten x p en x v samenvallen? 



Ter bepaling van het punt x p zijn boven door p twee wille- 

 keurige lijnen getrokken. Verbindt men nu p echter met twee der 

 punten £, bijv. ö 1 en # 2 , dan zullen de geheel op dezelfde wijs 

 als boven ontstane kegelsneden {a l a 2 6 ^ l{\ en (a 1 ,,< 2 6 s 2 / 2 ), 

 wier vierde snijpunt het punt x p is, bij beweging van p langs 



*) Stukm, t. a. p. blz. 538. 



