ina k 



( 355 ) 



Terugkeerende tot (4'), kan men nog opmerken dat indien 

 op eene of andere wijze deze identiteit bewezen is voor het bij- 

 zondere geval waarin alle hoeken b gelijk nul zijn en waarin 

 dus de algemeene teller in het eerste lid overgaat in sin n a& en 

 het tweede lid zelf in sin JS'Jafo dat men dan door differentiatie 

 ten opzigte van alle met gelijke differentialen toenemende hoe- 

 ken a (waarbij dus alle noemers onveranderd blijven) eene nieuwe 

 identiteit verkrijgt waarin de teller is overgegaan in sin? 1 — 1 ai- cos o / c 

 en het tweede lid in cos S\ au ; dat verder, als bijv. b l een 

 willekeurigen hoek voorstelt, het verschil der beide met cosb l 

 en met sin ö l vermenigvuldigde identiteiten weder eene andere 

 oplevert, hebbende tot teller sin n ~ l ai sin (ai — b{) en tot tweede 

 lid $in(2$ajt — b{) ; dat men, op deze wederom de differentiatie 

 toepassende in de onderstelling dat nu ook b l dezelfde differen- 

 tiaal verkrijgt als alle hoeken a, en overigens met een nieuwen 

 willekeurigen hoek # 3 dezelfde bewerking als zoo even herha- 

 lende, den teller in sin n — i aj c sin{ak — bi)sin{ak — b%) en het 

 tweede lid in sin{2*ak — b-^—b^) ziet overgaan; en dat men 

 eindelijk op deze wijze voortgaande van het onderstelde bijzon- 

 dere geval b — weder tot de algemeene identiteit (4/) kan 

 opklimmen. 



Eene andere opmerking is dat (4') de verwisseling van alle 

 a met alle b toelaat en dat men, dit doende en de teekens om- 

 keerende, het eerste lid onder een anderen vorm verkrijgt en 

 wel zoo dat daarin de noemers alleen van de verschillen der 

 hoeken b afhangen. Meer in het algemeen zelfs zou men som- 

 mige der hoeken a met even zoovele van de hoeken 6, negatief 

 genomen, kunnen verwisselen zonder dat dit op het tweede lid 

 en dus op de waarde van het eerste lid van invloed zou zijn. 



Nog tot andere vormen geeft (4/) aanleiding. Om slechts iets 



te noemen, vervange men bijv. o Jc door — en b/c door — — , 



dan komt na eene kleine herleiding de identiteit : 



[sin cik+sinai)(sin a^-^sin a%)...(sin a^ -\-sin o k _i)(sin o & 4- sin « /*+i). ..(sin ak-^sina^ 

 sin(a }c — a{) sin(a k — a 2 ) . . . sin{ak — ff*_i) sin(a k — tf* + i) . . sin(d k — a n ) 

 = sin J^a*. 



En eindelijk, om niet te spreken van de minder regelmatige 



