( 356* ) 



identiteiten die uit (4') zouden voortkomen door bijv. slechts 

 eenige der hoeken a y of eenige ó, of eenige a en eenige b ge- 

 lijktijdig, met 90° te vermeerderen, verdient nog de aandacht 

 de identiteit ontstaande door hetzij alle a te vervangen door 

 a -f- 90°, hetzij alle b door b -f- 90°> en die zich van (4') on- 

 derscheidt doordien, terwijl alle noemers onveranderd blijven, in 

 de tellers overal cosinussen in plaats van sinussen optreden en 

 doordien het tweede lid wordt ± sin (^Ja^— -2* fa) naarmate 

 n van den vorm 4w of 4 w -f- 2 is, ofwel =t cos{2\aj £ — 2\0k) 

 naarmate n den vorm 4<m -f- 1 of 4>m -j- 3 heeft. 



Zooals te verwachten is, bepalen de goniometrische identitei- 

 ten die in vorm overeenstemmen met de algebraïsche waarin zij 

 overgaan wanneer de hoeken oneindig klein worden, zich niet 

 alleen tot de in het bovenstaande onderzochte. Zonder hierom- 

 trent in een verder algemeen onderzoek te treden, moge bij wijze 

 van een paar eenvoudige voorbeelden voor liet geval van slechts 

 drie hoeken a^ a 2 , # 3 de vermelding volstaan dat, evenals men 

 volgens de goniometrische vervorming van de boven besproken 

 formulen van euler heeft 



sin a x sin a 2 sin a s 



*iw(rt? 1 -a2)5*n(a 1 -fl 3 ) sin(a 2 -a l )sin(a 2 -a 3 ) sin(a^-a l )sin(a 3 -a 2 ) 



= ^ï_ — èa = o 



sin («1-^2) siw ( a i~ a s) 

 en evenals volgens (4'j: 



8 sin 3 a 1 



^1 ~T~: , . . ■ = sin («i + «2 + uo) 



sm{a l — a 2 )sin(a l — a 3 ) * ' ó ' 



is, zoo ook door de laatste identiteit herhaaldelijk met 

 sin 2 a l + sin 2 a 2 -f- sin 2 a s te vermenigvuldigen en daarbij op de 

 eerste te letten, gemakkelijk gevonden wordt: 



^ï- 



sin 5 a Y 



sin (dj — a 2 ) sinfa — # 3 ) 



sin(a l + a 2 +a 3 ).(sin 2 a 1 '\'sm 2 a 2 +sin 2 a 3 )-^sina l sina 2 sina s 



