( 42 ) 



cirkel overschrijdt. Voor elk punt P binnen den cirkel is 

 de driehoek a ft y gelijkdraaiend (isot**ope), voor elk punt 

 er buiten is hij ongelijkdraaiend (anisotrope) met ABC. 

 In verband hiermee zullen we den inhoud en den hoek van 

 Brocard van de bij binnen den cirkel gelegen punten P 

 behoorende voetpuntsdriehoeken als positieve, van de bij 

 buiten den cirkel gelegene punten P behoorende voetpunts- 

 driehoeken als negatieve grootheden beschouwen. 



Schrijven we de voorgaande vergelijking in den vorm 



(# 2 + y 2 + s 2 + V z cos A -f- z x cos B -f- x y cos C) tg d l — 

 — (y z sin A -f- z x sin B + x y sin C) =z (1), 



dan blijkt onmiddellijk, dat zij een bundel van kegelsneden 

 met den parameter tg ê 1 voorstelt. Deze kegelsneden zijn 

 alle cirkels. Vooreerst is 



y z sin A + z x sin B -\- x y sin C = 



de om ABC beschreven cirkel. Verder blijkt bij invoe- 

 ring van de zijden a, 6, c van driehoek ABC, dat de drie 

 lijnenparen 



af == y 1 4- z* + 2 y z cos A = 0, 



bf == z* + x* + 2 z x cos B =2 0, 



cf = x 2 -f- y 2 -j- 2 x y cos C = 



eenvoudig de puntcirkels A, B, C zijn, omdat deze verge- 

 lijkingen verkregen worden door achtereenvolgens x, y, z 

 te elimineeren tusschen 



a x -\- b y -\- c z r=0, 

 ay z -(- b z x -f- c x y == 0, 



van welke vergelijkingen de eerste de lijn in het oneindige 

 en de tweede weer den om ABC beschreven cirkel voor- 

 stelt. Dus moet ook 



i( a i 2 + ^i 2 + c i 2 )— x% ' y 2 -{-z 2 -\-yzcosA-\-zxcosB+xyco$C=Q 



een cirkel uit het door de puntcirkels A, B, C bepaalde 

 net voorstellen en onze bundel van kegelsneden een bundel 

 van cirkels zyn. We hebben dus deze stelling : 



