( 52 ) 



tusschen — -|/3 en - f/ 3 in ligt en deze grenswaarden 

 o o 



van ê klaarblijkelijk bij een gelijkzijdigen driehoek ABC 

 behooren, vinden we: 



»Degelijkzijdige driehoeken zijn de bestaan- 

 bare driehoeken met een zoo groot mogelijken 

 hoek van Brocaud." 



Omdat een bestaanbare ongelijk zij dige driehoek geen hoek 

 d van Brocard bezitten kan, waarvoor tg 2 S grooter is 



dan — , voert elk der beide onderstellingen tg S = ± - [/ 3 

 o o 



tot een puntcirkel, zoowel in den bundel (1) als in den 

 hier gevonden bundel. Terwijl deze laatste dus de toppen 

 der beide op B C beschrevene gelijkzijdige driehoeken tot 

 grenspunten heeft, zijn de beide punten F, die gelijkzijdige 

 driehoeken tot voetpuntsdriehoeken hebben, de grenspunten 

 van den eersten. Derhalve worden de bedoelde punten met 

 gelijkzijdigen voetpuntsdriehoek aldus geconstrueerd. Is h 

 de loodrecht op de lijn / van Lemoinb neergelaten mid- 

 dellijn van den omgeschreven cirkel, die den cirkel van 

 Brocard behalve in H in het punt K van Lemoine snijdt, 

 en duidt L het snijpunt van deze middellijn met l aan, 

 dan zal de ' uit L met de middenevenredige tusschen L H 

 en L K als straal beschreven cirkel de middellijn h in de 

 twee verlangde punten snijden. 



5. We komen thans tot de bekende punten op den cir- 

 kel van Brocard terug en gaan daarom terug tot dat ge- 

 deelte van art. 2, waarin aangewezen is, dat de voetpunts- 

 driehoeken van de punten H, 0, O' rechtstreeks gelijkvormig 

 zijn met ABC en zij dus op de wijs van art. 4, b een drie- 

 tal cirkelvormige verschikkingen uitmaken. Daaraan knoopen 

 we het bewijs vast, dat de hoekpunten van den tweeden 

 driehoek van Brocard het aanvullende drietal vormen. Het 

 punt A 2 (fig. 4) wordt namelijk bepaald door de voorwaarde, 

 dat de driehoeken A A 2 C en B A 2 A gelijkvormig zijn *). 



*) Meu vergelijke Bkocaed's mededeeling omtrent den cirkel der zeven 

 punten (Annwire de r Assoclation frangaise, Congres tf dlger, 1881). 



