( 58) 



Maar dan volgen ook onmiddellijk uit de in de figuur aan- 

 gewezen gelijkheid der hoeken en uit de eigenschappen der 

 hoeken van een koorden vierhoek de betrekkingen a — A, 

 y — B, ft = C. Op dezelfde wijs vindt men voor B% en 

 C 2 de noodige vergelijkingen en deze bewijzen dan gezamen- 

 lijk wat beweerd werd, dat de punten A%, B%, C% het aan- 

 vullend drietal vormen voor voetpuntsdriehoekengelijkdraaiend 

 en gelijkvormig met ^1 B C. Derhalve behooren de drietallen 

 H, O, O' en A 2 , B 2 , C 2 tot hetzelfde zestal en heeft Aetzt 

 deze punten terecht met elkaar in verbinding gebracht. 



Onderzoeken we verder in welke betrekking het tweede 

 zestal van Artzt, waarvan K deel uitmaakt, tot het eerste 

 staat. Wordt K bepaald als het punt, dat isogonaal ver- 

 want is met het zwaartepunt E (fig. 5) van ABC ten 

 opzichte van A B C, dan volgt uit de beide betrekkingen 



£y ft K — /_Y AK, ^_y A K— /^EAC, 



dat ft y loodrecht staat op A E, m. a. w. dat de zijden 

 van driehoek a ft y loodrecht staan op de overeenkomstige 

 zijden van driehoek E C IX Dus zijn de driehoeken ABC 

 en a ft y toegevoegd en behoort K tot het zestal punten, dat 

 men toegevoegd aan het eerste zou kunnen noemen *). 



Terwijl we de hoekpunten A Y , B x , C 1 van den eersten 

 driehoek van Brocard als niet tot een zelfde zestal behoo- 

 rende buiten beschouwing laten, merken we nog op, dat 

 K het zwaartepunt is van zijn voetpuntsdriehoek. Want 

 daar Ka, K ft, Ky evenredig zijn met de zijden BC, CA, 

 A B van ABC volgens een der bepalingen van het punt 

 K, zoo zijn ze ook evenredig met de medianen van drie- 

 hoek a ft y f), enz. 



*) Zooals de Heer Artzt opgeeft, zijn de isogonaal met de punten 

 van het eerste zestal verwante punten de punten, waaruit men de zijden 

 van driehoek ABC onder hoeken ziet, die aan de supplementen van de 

 hoeken des driehoek gelijk zijn en wel zoo, dat die supplementen zich 

 om die punten heen in de volgorde van draaiing ABC vertoonen. 

 Zoo als men weet, komt het hoogtepunt W onder dit zestal voor. 



f) Men vergelijke J. Neuberg's //Mémoire sur Ie tétraèdre" {Mém,oi« 

 res couronnés, etc , 18b4) § 2, IV. 



