( 57 ) 



overeen, die als behoorende tot het net door de eerste drie 

 bepaald den omgeschreven cirkel loodrecht snijden. Wijl 

 nu echter, na a 3 3 > ^2 2 ' c ^ ( ^ 00r üun waarde in se, y, z ver- 

 vangen te hebben, de discriminant van elk der drie laatste 

 vergelijkingen den factor 



1 — cos 2 A — cos 2 B — cos 2 C — 2 cos A cos B cos C 



bevat en deze factor nnl is voor drie hoeken A, B, C met 

 een som van 180°, zijn deze nieuwe cirkels zoo als te ver- 

 wachten was ook puntcirkels. Wegens de vereischte lood- 

 rechte snijding zullen deze punten, die we achtereenvolgens 

 door A', B', C' voorstellen, op den omgeschreven cirkel 

 liggen. Verder blijkt onmiddellijk uit den vorm der ver- 

 gelijkingen in a 2 2 , 6 3 2 , c 2 2 , dat de aan het slot van art. 1 

 gevonden cirkels achtereenvolgens deel uitmaken van de 

 bundels door de puntenparen A A', B B', C C' bepaald. En 

 wijl nu de middelpunten dier cirkels (fig. 5) de hoekpunten 

 A", B", C" zijn van den driehoek door de raaklijnen in 

 A, B, C aan den omgeschreven cirkel gevormd en de lijnen 

 AA", BB", CC", zoo als bekend is *), elkaar in het punt 

 van Lemoine snijden, wordt hierdoor de ligging der punten 

 A', B', C' op den omgeschreven cirkel volkomen aangewe- 

 zen f). Als evenredig aan de coördinaten dier punten vindt 

 men ( — 2 a, b, c), (a, —2 b, c), (a, b, — 2 c). 



Niettegenstaande het gezamenlijk optreden van twee twee- 

 lingspunten in de stelkundige behandeling der gemengde 

 transformatie vindt men bij elk der punten A, B, C slechts 

 een enkel overeenkomstig punt A', B', C'. Dit is een ge- 

 volg hiervan, dat de punten van den omgeschreven cirkel 

 met hun tweelingspunten samenvallen. Op dezen cirkel 

 moeten de met elkaar overeenkomende toegevoegde punten 

 dus een involutie vormen en door een punt gaande ver- 



*) Men vergelijke J. Neuberg's Mémoire sur Ie tétraedre. 



f) De zeshoek A B' CA' BC' is de //harmonische zeshoek" van drie- 

 hoek A B C en de driehoeken A B C en A' B' C' zijn //Cosymmedians", 

 Men vergelijke Ca.sey's On the harmonie hexagon o/ a triangle. 



