( 59 ) 



ter der gemengde transformatie ook dat van de transfor- 

 matie der tweelingspunten kennen. 



Beginnen we met de laatste. Wijl twee met een zelfde 

 punt P x overeenkomende punten P 2 en P 2 , die zoo als we 

 weten tweelingspunten zijn, zoo met H op een rechte lijn 

 liggen, dat het product van H P 2 met H P 2 gelijk aan R 2 

 is, is de transformatie der tweelingspunten niets anders dan 

 de transformatie door weerkeerige voerstralen, die H tot 

 centrum en E? tot macht heeft. Dus vinden we dat: 



»T wee punten P en P', die in de transformatie 

 door weerkeerige voerstralen met het centrum 

 H en de macht R 2 met elkaar overeenkomen, 

 hebben tegengesteld gelijkvormige voetpunts- 

 driehoeken, waarvan de gelijkstandige hoek- 

 punte'n met elkaar op dezelfde zijde van drie 

 hoek ABC gelegen zijn." 



Het is niet moeielijk deze stelling meetkundig te be- 

 vestigen. Omdat de koorden ft y en ft' y' (fig. 6) in de 

 cirkels PyftA en F' y' A ft', die P A en P' A tot mid- 

 dellijnen hebben, gelijke hoeken (A) onderspannen, heeft men 



fty:ft'y'=z » A : P' A. 



Aan den anderen kant volgt uit de betrekking HP . HP'^=HA 2 

 der verwantschap de gelijkvormigheid der driehoeken HA P 

 en H P' A en dus ook 



P A:P'A = PH:HA. 



Zoo vindt men dus 



fty:ft'y' = ycc:y'a'=zaft:cc'ft'=:PH:R, 



wat de stelling bewijst. 



In de transformatie der tweelingspunten stemmen die 

 cirkels van den bundel (1) uit art. 1 met elkaar overeen, 

 welke bij twee op het teeken na gelijke waarden van tg §± 

 behooren. Dit wordt door bovenstaande stelling bewaar- 

 heid. Want vooreerst doet de stelling den omgeschreven 

 cirkel met zich zelf, ten tweede doet zij den cirkel van 



