( 60 ) 



Brocard en de lijn van Lemoine invo-liitorisch met elkaar 

 overeenkomen. Duidt men nu de met elkaar overeenko- 

 mende waarden door tg $i en tg S^ aan, dan komen met 

 de waarden 0, d, — d van §i dus de waarden 0, — $, S 

 van Si' overeen en hieruit volgt algemeen <5 X ' •=. — d^ 



Keeren we thans tot de toegevoegde punten terug. Met 

 een willekeurige middellijn d van den omgeschreven cirkel 

 r (fig. 7) stemt als cirkel, die r rechthoekig snijdt, zoo 

 als we weten, een cirkel overeen, die dezelfde eigenschap 

 bezit. De constructie van dezen cirkel A levert geen be- 

 zwaar op. Want met de snijpunten M en N van d en JH 

 stemmen de snijpunten M' en N' van T met M K en N K 

 overeen, zoodat A de door M' en N' gaande cirkel is, die 

 r in deze punten rechthoekig snijdt en dus het snijpunt 

 S der raaklijnen in M' en A 7 ' aan r tot middelpunt heeft. 

 Omdat d door H gaat, moet A het overeenkomstige punt K 

 bevatten. Maar dan moet A ook door het snijpunt L van 

 HK met de lijn l van Lemoene gaan. Dus is L een funda- 

 mentaalpunt van de transformatie der toegevoegde punten. 

 Want met den bundel van cirkels A door K en L stemt 

 een bundel van stralen d door het met K overeenkomende 

 punt H overeen en dus moet op elk der lijnen d door H 

 een van H verschillend punt met L overeenkomen. 



Omdat H geen fundamentaalpunt is van de transformatie 

 en met een willekeurige lijn d door H een cirkel overeen- 

 stemt, die door K en L gaat, moet de transformatie der 

 toegevoegde punten, een kwadratische involutie zijn *) met 

 drie enkelvoudige funclamentaalpunten, L en de beide onbe- 

 staanbare cirkelpunten. Das blijft nog te onderzoeken, of 

 deze kwadratische involutie regelmatig of onregelmatig is f). 

 In het eenvoudige geval, dat voor ons ligt, komt de laatste 

 onderstelling neer op een transformatie door weerkeerige 

 voerstralen met L tot middelpunt en LH.LK tot macht; 

 terwijl deze transformatie in de eerste onderstelling nog 



*) ,Over de constructie van unicursale krommen door punten on 

 raaklijnen" {Nieuw Archief voor Wiskunde, deel XII, blz. 1). 

 f) Over de constructie, enz. 



