( 81 ) 



complex voor al hun punten en vlakken stralen zijn en dus een 

 oneindig aantal malen geteld worden als men de stralen van alle 

 punten en alle vlakken bij elkaar voegt, terwijl de stralen van de 

 nu onderzochte groep onder deze omstandigheden slechts een ein- 

 dig aantal malen genomen worden, moet dit bij de laatste lijnen- 

 groep hierin vergoeding vinden, dat de graad van oneindigheid 

 dier nieuwe groep dien van het lineaire complex met een overtreft, 

 ra. a. w. dat alle lijnen in de ruimte een eindig aantal malen tot 

 de nieuwe verzameling behooren. 



Hebben de lijnenparen w lt m 2 en n^ n 2 echter hyperbo- 

 loïdische ligging, dan zal elke straal voor al zijn punten 

 en vlakken straal zijn en de verzameling van stralen wer- 

 kelijk een lineair complex vormen. Is nl. P een willekeurig 

 punt en s een lijn door P in het vlak (m p n p ) willekeurig 

 getrokken, dan zal s straal zijn voor P en voor haar beide 

 snijpunten met het door w^ m 2 en n^ n 2 gaande opper- 

 vlak van den tweeden graad; zoodat de beide projectivische 

 bundels van raakvlakken in de punten van s aan de opper- 

 vlakken fs, m^ m 2 ) en (s, n^ n 2 ) aangebracht drie samen- 

 vallingen vertoonen en dus identisch zijn. En als elke straal 

 straal is voor al zijn punten en vlakken, dan geldt de aan 

 het begin van art. 2 bewezen stelling met al haar gevolgen 

 en vormt dus de bedoelde verzameling van stralen een lineair 

 complex; van dit lineaire complex zijn m^ m 2 en nj, n 2 

 twee paar weerkeerige poollijnen, enz. 



c). Aan het slot van deze meetkundige beschouwing van het 

 lineaire complex wijzen we met enkel woord den weg aan, langs 

 welken Möbius in zijne studie op het gebied der statica tot het met 

 het lineaire complex samenhangende nulstelsel (art. 2*) gekomen is. 



Zoo als bekend is, laat een willekeurig in de ruimte gegeven 

 stelsel van krachten zich in het algemeen steeds herleiden tot 

 twee elkaar kruisende krachten of tot een kracht en een kop- 

 pel, terwijl men slechts in een bijzonder geval een enkele kracht 

 of een koppel vindt. In het algemeene geval van twee krach- 

 ten K' en K" kan de lijn Z', langs welke de eene kracht werkt, 

 willekeurig aangenomen worden ; maar dan is ook de lijn l", langs 

 welke de andere kracht werkt, ondubbelzinnig bepaald. Draait 

 V om een harer punten P, dan beweegt V zich in een vlak tt 

 door P; beweegt V zich in een vlak tt, dan draait l" om een punt 

 P. Gemakkelijk herkent men in de lijnenparen l'J 1 ' de paren 

 weerkeerige poollijnen en in de met elkaar overeenkomende ele- 



VKBSI,. EN AiEDEi). AEÜ. NATUURK. 3 de REEKS. DEEL V. 6 



