( 83 ) 



een willekeurig vlak n ligt. Kortheidshalve zullen we de 

 congruentielijnen koorden noemen. 



De koorden, die een willekeurig aangenomen lijn m snij- 

 den, vormen een oppervlak F 2 van den tweeden graad door 

 m. Want, daar er door elk punt P van m een koorde gaat, 

 ligt m eenmaal op dit oppervlak en verder bevat elk wil- 

 lekeurig vlak tc door m nog een lijn van dit oppervlak, 

 de in n gelegen koorde. 



a). We sluiten voorloopig het bijzondere geval, waarin m koorde 

 is, uit. Later zal blijken, wat dan het oppervlak F' 2 vervangt 

 (art. 14»). 



b). Geheel langs denzelfden weg vindt men, dat bij een con- 

 gruentie (m, n) de een gegeven rechte lijn snijdende koorden een 

 oppervlak van den m -f- n ien graad vormen, dat m-maal door de 

 gegeven lijn gaat. 



13. Een willekeurige andere lijn m l wordt door het bij 

 m behoorende oppervlak F 2 in twee punten gesneden. Dus 

 zijn er twee op m en m l rustende koorden, die natuurlijk 

 bestaanbaar, samenvallend of onbestaanbaar kunnen zijn. Zij 

 laten zich onmiddellijk aanwijzen als m en m x (lig. 8) elkaar 

 snijden. Dan is de eene koorde k in het vlak n door m en 

 m i gelegen en gaat de andere k' door het snijpunt P van 

 m en wij. 



Beschouwen we nu de bij de lijnen ra en m-^ behoorende 

 oppervlakken F 2 en i^ 2 , die de twee elkaar kruisende koor- 

 den k en k' gemeen hebben, en nemen we aan, dat Q een 

 niet op k of k' gelegen gemeenschappelijk punt dier opper- 

 vlakken is, dan is het duidelijk, dat de lijn, die door Q 

 gaat en op k en k' rust, drie punten met elk der beide 

 oppervlakken gemeen hebben en dus op elk dier beide op- 

 pervlakken liggen zal. Derhalve bestaat de doorsnee van 

 F 2, en F{ 2 uit k en k' en twee lijnen ^ en * 3 , die k en k' 

 snijden. Deze lijnen t{ en t% kunnen weer bestaanbaar, sa- 

 menvallend of onbestaanbaar zijn ; we bewijzen, dat ze voor 

 de congruentie (1,1) een belangrijke beteekenis hebben. 



Snijdt ti het vlak ji in T Y en is m 2 een willekeurige 

 lijn door dit punt in ji getrokken, dan zal het bij m 2 be- 

 hoorende oppervlak F% 2 drie punten met ^ gemeen hebben 



