( 84 ) 



en deze lijn dus bevatten. Zijn nl. M en M x de snijpunten 

 van m 3 niet m en m 1? dan zullen de drie koorden door M, 

 ik/ 2 en 7\, waarvan de laatste de lijn k is, in verschillende 

 punten op t l rusten. Hieruit volgt, dat de koorde van elk 

 punt M 2 van m 2 op ^ rust en — als we m 2 in n om 7\ 

 laten draaien — dat de koorde van elk punt van n — en 

 dus ook elke koorde — t Y ontmoet. Wijl nu met behulp 

 van de oppervlakken F s 2 behoorende bij lijnen m s door het 

 snijpunt T z van / 2 met n geheel op dezelfde wijs blijken 

 kan, dat elke koorde t 2 snijdt, is hiermee aangetoond, dat 

 elke koorde de beide lijnen ^ en t 2 ontmoet ; m. a. w. de 

 congruentie (1,1) is de vereeniging der lijnen, die twee gege- 

 vene elkaar kruisende lijnen ^ en t% snijden. Deze lijnen £j 

 en t% noemt men de richtlijnen der congruentie. 



a). Het schijnt, dat men de oppervlakken F 2 behoorende bij 

 de lijnen m 2 door T i eveneens gebruiken kan om te bewijzen, dat 

 alle koorden tf 2 snijden. Omdat in het volgende artikel hiertegen 

 bezwaren zullen rijzen, is dit niet geschied. 



Het oppervlak F' 2 der lijn m is het oppervlak der lijnen, die 

 op t u t 2 en m rusten. 



b). We maken opmerkzaam op de rangschikking ?an al de 

 koorden der congruentie tot telkens een der stellen beschrijvende 

 lijnen der oppervlakken {m, /,, t 2 ), die door draaiing van m om 

 P in 77 worden voortgebracht. Zij vormen een bundel van opper- 

 vlakken met de uit vier lijnen Je, k\ t Xi t 2 bestaande basiskromme. 



In het algemeen vormen de op een bundel van oppervlakken 

 van den tweeden graad liggende rechte lijnen een congruentie 

 (2,6); alleen als de basiskromme van den bundel een scheeve 

 vierhoek is, splitst deze congruentie zich in twee congruenties 

 (1,1) die elk een paar ov?rstaande zijden des vierhoeks tot richt- 

 lijnen hebben en vier congruenties (0,1 , die elk bestaan uit alle 

 lijnen in een vlak door twee opvolgende zijden des vierhoeks. 



Evenzoo als de lijnen in een vlak hier als een congruentie (0,1) 

 verschijnen, komen alle lijnen door een punt als een congruentie 

 (1,0) voor. Zoo splitst de congiuentie (1,1) zich in een congru- 

 entie (1,0) en een congruentie (0,1), als de richtlijnen elkaar 

 snijden. We noemen de congruenties (1,0) en (0,1) oneigenlijke 

 congruenties. 



Naderen de beide richtlijnen tot elkaar als twee nabij elkaar 

 gelegen beschrijvende lijnen van een scheef oppervlak, dan bestaat 

 de grensstaud der congruentie uit de lijnen, die dit oppervlak in 



