( 85 ) 



de punten der lijn van samenvalling aanraken. Bij elk punt der 

 lijn behoort dan een bundel van stralen door dit punt in het raak- 

 vlak aan het oppervlak door dit punt. Men spreekt dan van een 

 bijzondere congruentie en kan het oppervlak gevormd door de lood- 

 recht op de lijn van samenvalling staande koorden, dat de con- 

 gruentie bepaalt, de hyperbolische paraboloïde der congruentie noe- 

 men (Weiler, Erzeugung von Complexen ersteu und zweiten Grades 

 aus linearen Congruenzen, Zeitschrift von Üchlömilch, XXVII, 257). 



14. De punten van en de vlakken door elk der beide 

 richtlijnen maken uitzondering op den regel, dat door elk 

 punt slechts een koorde gaat en in elk vlak slechts een 

 koorde ligt; deze punten en vlakken zijn dus uitzonderings- 

 elementen der congruentie. Voor elk punt P l van t^ zijn 

 alle lijnen door f\ in het vlak (P 1 t 2 ) koorden, voor elk 

 vlak ti 1 door ^ is dit met alle lijnen in ti 1 door het punt 

 (ril t%) het geval, enz. Snijden twee koorden elkaar, dan is 

 dus elke lijn door haar snijpunt en in haar vlak koorde ; 

 het snijpunt ligt dan op de eene der beide richtlijnen en 

 het vlak gaat door de andere. 



a). Wat zich hier bij de uitzonderingselementen voordoet, is 

 volkomen analoog aan hetgeen men in de stelkunde opmerkt. Een 

 vergelijking van den n den graad, die n 4- 1 wortels bezit, is een 

 identiteit, enz. 



b). Indien de lijn m de richtlijn t x in T { en t 2 het vlak 

 (m t { ) in T 2 snijdt, vormen de op m rustende koorden in plaats 

 van het eene stel beschrijvende lijnen van een oppervlak van 

 den tweeden graad twee vlakke stralen bundels nl. de lijnen door 

 Ti in het vlak (T x t 2 ) en de lijnen door T 2 in het vlak (T 2 1 } ). 

 Het oppervlak dier koorden bestaat dan uit de twee vlakken 

 (T x t 2 ) en (T 2 t x ). En snijdt m niet alleen t x in T K maar ook t 2 in 

 T 2 , dan blijft het resultaat onveranderd, ligt alleen T 2 ook op m. 



c). Het zou kunnen schijnen, dat door deze uitkomst het in 

 art. 13 gegeven bewijs zijn kracht verliest. Daar toch is gevon- 

 den, dal elke op m 2 (tig. 8) rustende koorde U snijdt, omdat drie 

 dezer koorden dit doen en het oppervlak F 2 2 dier koorden dus t t 

 bevatten moet. En nu blijkt, dat de koorden, die rusten op de liju 

 m 2y die U in T\ snijdt, zich in twee groepen splitsen, waarvan 

 de eene de lijnen door T x bevat die t a snijden en de andere de 

 lijnen door een bepaald punt T 2 van t 2 die U snijden ; zoodat het 

 mogelijk zou zijn, dat de drie koorden door M, Jf„ en T\ de 

 richtlijn t t niet in drie verschillende punten sneden. Bij nader 



