( 91 ) 



Uit de beschouwingen van art. 6 volgt, dat de as van 

 een complex den kortsten afstand van elk paar weerkeerige 

 poollijnen loodrecht snijdt. Nemen we voor het complex 

 een der complexen des bundels en voor het paar weerkee- 

 rige poollijnen de richtlijnen ^ en t 2 der basiscongruentie, 

 dan vinden we, dat alle assen der congruentie den kortsten 

 afstand van ^ en t 2 loodrecht snijden. 



d). Nu zou men kunnen meenen, dat hieruit in verband met 

 het voorgaande voor het gezochte oppervlak een hyperbolische 

 paraboloïde gevonden wordt. Want de assen moeten evenwijdig 

 blijven aan een vlak loodrecht op den kortsten afstand tusschen 

 tj en 4 en bovendien twee lijnen snijdeD, den genoemden kortsten 

 afstand en de in het oneindige liggende koorde der congruentie. 

 Bij nader inzien blijkt echter, dat het rusten op deze koorde met 

 het evenwijdig zijn aan een vlak loodrecht op den kortsten af- 

 stand identisch is en dat in elk vlak loodrecht op dien kortsten 

 afstand de as nu verder zoo bepaald moet worden, dat zij door 

 de haar snijdende koorden loodrecht gesneden wordt. 



De twee lijnen a (fig. 9), die in het vlak cc loodrecht 

 op den kortsten afstand A 1 A% van de richtlijnen ^ en t% 

 in het midden O tusschen A x en A 2 aangebracht den hoek 

 tusschen de projecties wj en u 2 van ^ en t 2 op dit vlak 

 middendoordeelen, zijn assen der congruentie. Want uit de 

 beschouwing der hyperbolische paraboloïde, die ^, to, en een 

 der beide lijnen a tot richtlijnen heeft, blijkt onmiddel- 

 lijk, dat deze lijn a de haar ontmoetende koorden lood- 

 recht snijdt. En aan den anderen kant zijn de lijnen a de 

 eenige assen door O, waaruit dus volgen moet, dat er door 

 elk punt van A 1 A 2 twee assen der congruentie gaan, daar 

 de lijn A 1 A 2 zelve niet tot deze assen behoort. We toonen 

 dit nog nader aan door voor een willekeurig punt van A l A% 

 de assen te construeer en. 



Brengt men een willekeurig vlak aan evenwijdig aan 

 A 1 A 2 , dat ti in B en t 2 in C snijdt, projecteert men B 

 in J5' en C in C' op het vlak der assen a, laat men uit 

 O de loodlijn O D' op de verbindingslijn B' C' neer en 

 zoekt men het punt D van de lijn B C waarvan D' de pro- 

 jectie is op het vlak der assen, dan is de lijn D E uit D 



