( 93 ) 



zooals te verwachten was, symmetrisch ten opzichte van O, want 



£' D" B' D"' 



W7^ ^ ~R>T^ = 1 ' ^usschen deze grenspunten F liggen de 



punten E met bestaanbare, er buiten liegen de punten E met on- 

 bestaanbare assen. In het algemeen liggen de grenspunten buiten 

 het segment A^ A 2 \ alleen als l = 45° is, vallen zij met A x en 

 A 2 samen. 



In A x zijn de beide assen de lijn t { behoorende bij een oneigen- 

 lijk complex en de loodlijn door Ay op het vlak (A t t 2 ) ; werke- 

 zijn deze lijnen altijd bestaanbaar en vallen ze voor £ — 45° samen. 



Is de gegeven congruentie een bijzondere (art. 13 b \ dan zal 

 het voorgaande in hoofdzaak doorgaan. De punten A\ A 2 vereeni- 

 gen zich dan in het centraalpunt A der beschrijvende lijn van 

 samenvalling met betrekking tot de hyperbolische paraboloïde der 

 congruentie, $ wordt nul en de grenspunten F liggen aan weers- 

 kanten van A op een afstand, die het dubbel is van den para- 

 meter dier beschrijvende lijn (de la Gournerie, Traite de geo- 

 metrie descriptive, deel II, blz. 144). 



c). De bij de afleiding van het oppervlak der assen gebruikte 

 hyperbolische paraboloïdes hebben de zijden van een scheeven 

 vierhoek (Ai A 2 , t v de in het oneindige liggende koorde en t 2 ) 

 gemeen. Zij vormen dus een bundel. We vinden derhalve hiel- 

 de in art. 13 è aangewezen rangschikking der koorden zoo her- 

 haald, dat met ieder oppervlak een as der congruentie in ver- 

 band staat. 



d). Als U in het oneindige ligt en t 2 niet loodrecht kruist, 

 herleidt het oppervlak van den derden graad zich tot een plat 

 vlak, het vlak door t 2i dat met een willekeurig vlak door t { een 

 loodlijn op de projectie van t 2 op dit vlak tot doorgang heeft. 

 In dit vlak zijn de lijnen evenwijdig aan t 2 de assen van de com- 

 plexen des bundels. Kruist de in het oneindige liggende richtlijn 

 t x de andere t 2 loodrecht, dan vallen, zoo als we reeds zagen, al 

 de assen met t 2 samen. 



19. Alle complexen, die drie gegeven lijnen s^ s 2 , s s tot 

 stralen hebben, hebben als stralen al de lijnen s gemeen, 

 die op het door deze drie lijnen bepaalde oppervlak van 

 den tweeden graad met deze drie lijnen tot een zelfde stel 

 behooren. Zij vormen een tweevoudig oneindig samenstel 

 van complexen, waaraan men den naam van complexnet 

 geeft; van dit complexnet vormt het oppervlak der lijnen 

 s het basisregelvlak. 



Elke lijn a\ die de drie gegeven stralen sj, * 3 , s 8 ont- 



