( 142 ) 



Maar dan kan ook niet voor alle waarden van u en cp 

 voldaan worden aan de vergelijking (7), tenzij voor elke 

 waarde van n 



X n O, y) = Z n {/u, qp) 



en tevens 



d -^ = npn R*-ï (10) 



CL o 



Men kan zich hiervan gemakkelijk overtuigen, als men 

 de bolfuncties in den vorm brengt, waarin de veranderlijken 

 ju en cp van elkander gescheiden zijn *). Men kan ook op- 

 merken dat, indien Y n de twee-assige bolfunctie van de 

 w de orde is, volgens (8) en (9), als wij in (9) r vervangen 

 door R, 



2t 



— 1 



/ I Y «\-J7-[irr)y* d * 



o 



ƒ+ ' f 2 * rda n -i 



ƒ Y n l~jjZn —np n Rn-lX n jd/ud(p 



Volgens (7) moet deze laatste integraal nul zijn, wat als 

 noodzakelijk gevolg met zich brengt, dat de bolfuncties 



d CLfi 



Z n en n p n R n — 1 X n identisch zijn f). 



(X t 



Wij krijgen dus in plaats van de vergelijking (2): 

 U =Po +Pi rZ i<J*i<P) + ••• + Pn r n Z n (^,qp) + enz. ..(11) 



waarin de grootheden p nog voldoen aan de betrekking (10). 

 Het is duidelijk, dat wij deze eenvoudige uitkomst niet 

 verkregen zouden hebben, indien wij niet hadden aange- 

 nomen, dat het bolletje nooit veel van den bolvorm afwijkt. 



*) Zie TodhuntEr, Laplace's functions, p. 155. Heine, Handbuch 

 >,r Kugelfunctionen l ster Bnd. p. 312. 

 f) Zie Todhunter, p. 159. 



