( 403 ) 



de tweede uit twee rakende takken bestaat. Voorts be- 

 vindt zich de lijn der gekoppelde raakpunten bij de eerste 

 soort op 't elliptisch gekromde, bij de tweede soort op 't 

 hyperbolisch gekromde gedeelte van het oppervlak. Spreker 

 vertoont modellen van beide gevallen. 



Daarna ging spreker over tot de vraag: hoe plooipunten 

 nieuw ontstaan en verdwijnen op een vloeiend veranderend 

 oppervlak. Een algemeene regel is het, dat bijzondere 

 punten, die in eindig aantal op een oppervlak optreden, niet 

 verdwijnen, dat is onbestaanbaar worden, alvorens twee of 

 meer samengekomen zijn. Om dus op een vloeiend ver- 

 anderend oppervlak het oogenblik van verdwijnen of ver- 

 schijnen te leeren kennen, behoeft men slechts na te 

 gaan het optreden van die bijzondere punten van hooger 

 orde, waar meerdere der te onderzoeken bijzondere punten 

 samenvallen. 



In de eerste plaats komen dan in aanmerking die bij- 

 zondere punten van hooger orde, wier aanwezigheid op een 

 algebraïsch oppervlak slechts aan ééne voorwaarde tusschen 

 de coëfficiënten gebonden is. Spreker zoude zulke bijzondere 

 punten »uitzonderingspunten van den eersten graad (van uit- 

 zondering)" willen noemen. Men kan een gegeven oppervlak 

 van gegeven graad vloeiend laten overgaan in elk ander 

 oppervlak van denzelfdeu graad, zonder andere dan deze uit- 

 zonderingspunten te zien verschijnen, en ook dan, wanneer de 

 wijze van verandering niet geheel vrij is, maar veroorzaakt 

 wordt door de aanwezigheid van een of meer parameters, zullen 

 in den regel geene andere uitzonderingspunten behoeven op 

 te treden. 



Wat nu de plooipunten betreft, voor deze zijn de be- 

 doelde uitzonderingspunten vier in getal, en wel (merkwaar- 

 dig genoeg) twee geheel onderscheiden soorten van dubbel- 

 plooipunten, voorts osculatiepuntea en kegelpunten. 



De eerste soort van dubbel-plooipunt ontstaat als in de 

 vergelijking : 



z — (?! x 2 + d 3 x y 2 + e 5 y* 



die in het algemeen de gedaante van het oppervlak in de 



