( 404 ) 



nabijheid van een plooipunt bepaalt, de coëfficiënt d z nnl 

 wordt. Zulk een plooipunt ontstaat door 't samenvallen 

 van gelijksoortige enkele plooipunten, die dan na het sa- 

 menvallen onbestaanbaar worden. 



De tweede soort eischt: tf 2 3 — 4 C]_ e b = 0. Het gelukte 

 spreker aan te tuonen, dat zij beschouwd moet worden te 

 zijn ontstaan uit het samenvallen vau twee ongelijksoortige 

 plooipunten. Zij vormt tevens den overgang tusschen beide 

 soorten van enkelvoudige plooipunten Hieruit volgt dus 

 dat een plooipunt zijn soortkarakter niet veranderen kan 

 zonder eerst met andere plooipunten samen te komen. Ge- 

 schiedt dit in een dubbelplooipunt tweede soorl , dan worden 

 beide onbestaanbaar. Bij 't samenkomen in een osculatie- 

 punt kan echter wellicht 't karakter veranderen. Dit is door 

 spreker niet onderzocht. 



[n een osculatiepunt, waar de doorsnede van raakvlak en 

 oppervlak een driedubbelpunt vertoont, komen drie plooi- 

 punten samen. Van deze drie zijn er evenzoovele bestaan- 

 baar als door het driedubbelpunt bestaanbare takken gaan. 

 In de bestaanbaarheid komt na het optreden van een os- 

 culatiepunt geene verandering. 



Anders is het met de kegelpunten gesteld. Hier komen 24 

 plooipunten bijeen; toch kan hetgeen met die 24 punten 

 voorvalt op tamelijk eenvoudige wijze worden beschreven. 

 Brengt men een coördinaten-stelsel aan in het kegelpunt, dan 

 kan de vergelijking van het oppervlak geschreven worden: 



= H, + H, + B i + . . . 



Laat men nu alle termen // 4 en hoogere weg, dan ont- 

 staat een derdegraadsoppervlak met kegelpunt. Door dit ke- 

 gelpunt gaan dan zes (dubbele) rechte lijnen, die al of niet 

 bestaanbaar kunnen zijn. Vervormt men nu het oorspron- 

 kelijk oppervlak, zoodat binding of scheiding optreedt tus- 

 schen de twee bladen, die in het kegelpunt samenhingen, 

 dan gaan de 24 plooipunten in zes groepen van vier uiteen. 

 Ieder van deze groepen correspondeert met een der zes dub- 

 bellijnen van het derdegraadsoppervlak : met iedere onbe- 

 staanbare lijn een groep van vier punten, die bij binding 



