( 405' ) 



zoowel als scheiding onbestaanbaar blijven ; met iedere be- 

 staanbare lijn eene, waarvan twee plooipunten onbestaanbaar 

 zijn en blijven, maar de twee andere of bij scheiding of 

 bij binding bestaanbaar worden. 



Spreker pastte nu de ontworpen theorie toe op derde- 

 graadsoppervlakken. De 54 plooipunten van zulk een op- 

 pervlak liggen paarsgewijze op de 27 rechte lijnen. Dnbbel- 

 plooipunten kunnen alleen optreden op rechten, die door 

 twee kegelpunten gaan ; deze rechten tellen dan voor vier 

 en al hunne punten zijn als dubbelplooipunten te beschou- 

 wen. Daar evenwel bij 't vervormen van een derdegraads- 

 oppervlak 't optreden van twee kegelpunten te gelijk steeds 

 vermeden kan worden, kunnen de dubbelplooipunten evenzeer 

 buiten beschouwing gelaten worden als de osculatiepunten, 

 welke geene verandering in 't aantal bestaanbare plooipun- 

 ten veroorzaken. De kegelpunten blijven nu over. Hier 

 splitst zich bij binding iedere bestaanbare dubbellijn van 

 het kegelpunt in twee bestaanbare rechte, waarop, blijkens 

 de algemeene theorie, nu slechts twee bestaanbare plooi- 

 punten, beide aan dezelfde lijn eigen, gelegen kunnen zijn. 

 Bij scheiding wordt alles onbestaanbaar. 



Het verdwijnen van twee plooipunten van een derdegraads- 

 oppervlak gaat dus gepaard met het verdwijnen van twee 

 rechten. Weet men nu nog dat het samenvallen van 

 rechten slechts kan voorkomen bij 't optreden van een ke- 

 gelpunt, dan geraakt men van zelf tot het theorema, dat 

 het verschil tusschen het aantal bestaanbare plooipunten 

 en het aantal bestaanbare rechten voor alle derdegraadsop- 

 pervlakken gelijk moet zijn, en wel blijkens het diagonaal- 

 vlak van Clebsch, waar 27 bestaanbare rechte en J0 oscu- 

 latiepunten, die elk voor 3 bestaanbare plooipunten tellen, 

 aanwezig zijn, gelijk aan het getal drie. 



Spreker vond in de tamelijk uitgebreide literatuur over 

 dardegraadsoppervlakken, dit theorema nergens uitdrukkelijk 

 geformuleerd, maar het bleek toch, wat den inhoud betreft, 

 bekend te zijn. Zoo geeft Zeuthen (Math. Annalen, Bd. VIII, 

 S. 5) voor de vijf hoofdsoorten, welke respectievelijk 27, 15, 

 7, 3 en 3 bestaanbare rechten bezitten, het aantal bestaan- 



