( 450 ) 

 II. Verdeeling in groepen. 



6. Op grond der laatstgenoemde stellingen kan men uit 

 projectieve bundels oppervlakken van de tweede orde een op- 

 pervlak van de vierde orde doen ontstaan; evenals een scheef 

 oppervlak van de tweede orde door de beweging eener recbte 

 lijn ontstaat, wordt dit oppervlak door de beweging eener 

 scheeve kromme van de vierde orde beschreven. 



Een scheef oppervlak R 4 * zal evenwel alleen dan ontstaan, 

 wanneer liet bewegende element eene rechte lijn is. Hieruit 

 volgt, dat twee homologe oppervlakken der beide bundels 

 elkander zoodanig moeten snijden, dat de doorsnede of wel 

 uit eene rechte lijn, óf wel uit twee elkander kruisende 

 lijnen bestaat. Opdat dit plaats grijpe, moet een deel der 

 basiskrommen van beide bundels tezamenvallen; het over- 

 blijvende deel der doorsnijding zal dan, als de oppervlakken 

 den geheelen bundel doorloopen, i2 4 beschrijven. Daar nu 

 de beide basiskrommen geheel op het oppervlak gelegen zijn, 

 zullen hare twee samenvallende gedeelten eene dubbel- 

 kromme op het oppervlak vormen; men kan dus de opper- 

 vlakken verdeelen naar den aard der dubbelkromme. Hier- 

 uit volgt de navolgende verdeeling: 



Eerste geval. De basiskrommen zijn twee scheeve vier- 

 zijden; twee overstaande zijden van de eene vierzijde vallen 

 te zamen met twee overstaande zijden van de tweede. 



Tweede geval. De basiskrommen bestaan beiden uit eene 

 scheeve kromme van de derde orde met eene koorde. De 

 kromme behoort tot de beide basiskrommen. 



Derde geval. De wederkeerige wijze van ontstaan geeft 

 aanleiding tot hetzelfde geval als het eerste, omdat eene 

 scheeve vierzijde zoowel een bijzonder geval is van de basis- 

 kromme als van de basis-ontwikkelbare. 



Vierde geval. Is wederkeerig met het tweede, waaruit 

 volgt: De beide scharen oppervlakken van de tweede klasse 

 zijn beschreven in eene gemeenschappelijke ontwikkelbare 

 van de derde klasse, terwijl tot elk nog eene van wee 

 verschillende assen der ontwikkelbare behoort. 



