( 455 ) 



In het eerste geval wordt het vlak n gesneden volgens 

 twee krommen van de derde orde, van welke de eene in 

 I) een dubbelpunt heeft ; in het tweede geval ontstaan er 

 in n eene kromme van de vierde orde en eene van de derde, 

 die door de beide dubbelpunten van de voorgaande gaat. 



14. De verdeeling van dit oppervlak in soorten geschiedt 

 het beste door, gelijk ook door Rohn langs analytischen 

 weg gedaan wordt, op de dubbellijnen die bijzondere punten 

 op te sporen, die door Cayley pinchpoints, d. i. klempun- 

 ten, genoemd zijn; het zijn die punten, in welke de beide 

 raakvlakken zich vereenigen, zoodat elk vlak door een dezer 

 punten gebracht, het oppervlak snijdt volgens eene kromme 

 met een keerpunt. Als wederkeerige vorm dezer klempunten 

 komen dan in aanmerking de vlakken, door de dubbellijnen 

 gebracht, in welke de beide raakpunten zich vereenigen; 

 de omhullingskegel, welks top in een punt van zulk een 

 vlak ligt, bezit dan een buigraakvlak. Ten einde deze klem- 

 punten op te sporen, brenge men weder een vlak n door 

 eene beschrijvende lijn l, en denke in dit vlak de kromme 

 c 3 geconstrueerd. Brengt men door d vervolgens een vlak 

 cc, dan snijdt dit d' in aS' en n volgens eene rechte lijn p, 

 die c 3 , behalve in D, in twee punten P x en P 2 snijdt. Nu 

 zijn P x *S' en P 2 S' twee beschrijvende lijnen van E é ; de 

 vlakken d' S' P 1 en d' S' P 2 zijn de raakvlakken van E é in 

 S', en de snijpunten d — S' P x en d — S' P 2 de raakpunten 

 van a met R é . Vallen P l en P% te zamen, d. i. wordt D P 

 eene raaklijn, dan verkrijgt men eene beschrijvende lijn s, 

 die uit twee samenvallende beschrijvende lijnen bestaat, en 

 die men grenslijn kan noemen ; de twee raakvlak- 

 ken door d\ zoowel als de beide raakpunten op d vallen 

 nu te zamen, en het punt S' is een klempunt op 

 d\ terwijl het vlak S' d een klemvlak door d is. Een vlak 

 door s snijdt R* in eene kromme van de derde orde, van 

 welke s eene raaklijn in S' is ; terwijl een punt op s een 

 omhullingskegel doet ontstaan, van welken s een straal is. 

 15. De vorm van het oppervlak R é hangt af van de 

 bestaanbaarheid of onbestaanbaarheid dezer klempunten. Ten 

 einde deze bestaanbaarheid te onderzoeken, legt men weder 



