( 456 ) 



even als vroeger (12) een vlak n door de beschrijvende lijn 

 l, welke de daarin ontstaande kromme c 3 in D en D' snijdt, 

 en construeerb de poolkegelsnede van D ten opzichte van 



3. 



deze is bepaald door D zelf, hare raaklijn door D, 

 zijnde dit tevens de raaklijn aan de kegelsnede, homoloog 

 met straal CD; en drie punten, toegevoegd harmonisch aan 

 D ten opzichte van de beide andere snijpunten eener lijn 

 door D met c 3 . De snijpunten van c 3 met de poolkegel- 

 snede zijn, de gezochte raakpunten. Men komt nu tot de 

 volgende drie gevallen: 



de snijpunten zijn alle vier bestaanbaar ; 



twee der snijpunten zijn bestaanbaar, de beide andere toe- 

 gevoegd imaginair; 



de snijpunten zijn allen imaginair. 



In het eerste en derde geval is de vorm der kromme c 3 

 tweedeelig *) ; zij bestaat uit een ovaal en eenen tak ; het 

 eerste wordt steeds in een even, de tweede in een oneven 

 aantal punten gesneden. In het eerste geval ligt D op den 

 tak, in het derde op bet ovaal. Het punt D' kan nu in 

 beide gevallen of op den tak of op het ovaal liggen. Hier- 

 uit volgt de volgende verdeeling: 



Ten eerste, de kromme is tweedeelig: 



a. D en D' liggen beiden op den tak. 



b. D en D' liggen beiden op het ovaal. 



c. D ligt op den tak, D' op het ovaal. 

 Ten tweede, de kromme is ééndeelig : 



d. D en D' liggen beiden op den tak. 



Hieruit volgt nu ten opzichte van de klempunten : 



a. De vier klempunten op d zoowel als op d' zijn be- 

 staanbaar. 



b. De klempunten op den d en d! zijn imaginair. 



c. De vier klempunten op d' d zijn bestaanbaar, die op d d' 

 imaginair. 



d. Twee klempunten op elk der dubbellijnen zijn bestaan- 

 baar, twee toegevoegd imaginair. 



*) Vergelijk voor den vorm der kromme c 3 : R. Sturm, Ueber die ebe- 

 nen Curven dritter Ordnung, Crelle's, Journal, Bd. 90 blz, 83. 



