( 458 ) 



naar gelang het eerste bijzondere punt een dubbelpunt, keer- 

 punt of geïsoleerd punt is. 



d. In dit geval bestaat de kromme slechts uit één deel; 

 dit ovaal heeft twee bijzondere punten, welke dubbel-, keer- 

 of geïsoleerde punten kunnen zijn, zoodat zes verschillende 

 vormen mogelijk zijn. 



Er kan geen bezwaar bestaan, de vormen van de omhul- 

 lingskegels voor de verschillende gevallen van het opper- 

 vlak na te gaan ; de beschouwing, hiertoe noodig, is weder- 

 keerig met de vorige. 



17. Een tweetal gedaanten, die dit oppervlak kan aan- 

 nemen, dienen nog in aanmerking te worden genomen. 



Het oppervlak kan ontstaan door twee projectieve vlak- 

 keninvolutiën ; dan is de vlakke doorsnede eene kromme 

 van de vierde orde o 4 ', welke ontstaat door de snijding van 

 de homologe elementen van twee projectieve straleninvolu- 

 tien. Het onderzoek der gedaante van het oppervlak kan op 

 geheel dezelfde wijze geschieden; slechts worde hier de vol- 

 gende bijzonderheid opgemerkt. Daar twee der raakpunten 

 van de raaklijnen, aan c é uit D getrokken, in eene rechte 

 lijn liggen met D', zoo liggen de beide grenslijnen door 

 deze punten gaande in een vlak door d', en snijden zij 

 elkander in een punt van d. 



De tweede gedaante ontstaat, wanneer R* geheel en al 

 imaginair wordt ; terwijl d en d' bestaanbaar blijven. 



De doorsnijding met een vlak is alsdan eene imaginaire 

 kromme van de vierde orde met twee bestaanbare geïsoleerde 

 punten. Deze kromme is de centrale of ortbogonale pro- 

 jectie van de imaginaire snijkromme van twee oppervlakken 

 van de tweede orde, die geen enkel punt gemeen hebben. 



Het oppervlak, ontstaan uit twee projectieve punten-invo- 

 lutiën stemt overeen met dat, uit twee projectieve vlakken- 

 involutiën ontstaan. 



Geval B. 



18. In plaats van de elkaar kruisende lijnen d en d' zijn 

 nu gegeven de lijnen ^ , / 2 ? k> h* welker gemeenschappe- 

 lijke transversalen ondersteld worden toegevoegd imaginair 



