( 464 ) 



De voornoemde kegelsnede snijdt namelijk de tweede kromme 

 c x 4 , behalve in twee dubbelpunten, in vier punten ; door deze 

 snijpunten worden de vier gemeenschappelijke lijnen getrokken. 



27. Ten einde alle soorten van oppervlakken dezer groep 

 te verkrijgen, moeten, even als te voren, de klempunten en 

 grenslijnen meetkundig onderzocht worden. Hiertoe kan de 

 volgende beschouwing leiden. 



Volgens (23) verkrijgt men de beschrijvende lijnen van 

 R é door de constructie der vlakken, die, door P gaande, 

 opvolgend twee homologe stralen van de beide projectieve 

 stralenbundels bevatten. Deze vlakken omhullen dus een 

 kegelvlak van de tweede orde, den omhullingskegel K 2 van 

 R* uit P ; terwijl P nog buitendien de top is van een ke- 

 gel van de tweede orde Ü^ 2 , die c 3 tot richtlijn heeft. Uit 

 een punt van c 3 buiten K' 2 kunnen nu twee raakvlakken 

 aan K 2 getrokken worden ; uit elk punt daarbinnen worden 

 deze raakvlakken imaginair, terwijl er in elk snijpunt één 

 raakvlak zyn zal. Daar deze raakvlakken tevens raakvlak- 

 ken van R l zijn, zoo zijn de gemelde snijpunten de op c 3 

 gelegen klempunten van R+ en de twee samenvallende be- 

 schrijvende lijden vormen eene grenslijn. Een raakvlak van 

 X' 2 snijdt verder c 3 in twee punten ; wanneer deze beide pun- 

 ten zich vereenigen, ontstaat er eene beschrijvende lijn die 

 tevens raaklijn van o 3 is. De vlakken, die deze lijnen doen 

 ontstaan, zullen mede ten getale van vier zijn, want de ke- 

 gels K 2 en UT] 3 kunnen hoogstens vier gemeenschappelijke 

 raakvlakken hebben. Nu volgt weder de classificatie van de 

 scheeve oppervlakken dezer groep op de bestaanbaarheid 

 van klempunten en klemvlakken gegrondvest *). 



Algemeene gevallen. 



a. K 2 en K{ 2 hebben vier gemeenschappelijke stralen en 

 vier gemeenschappelijke raakvlakken. 



b. K 2 en K-^ hebben vier gemeenschappelijke stralen en 

 geene gemeenschappelijke raakvlakken. 



*) Reye, G. d. L. 11, p. 114 vg. komt, uitgaande van een ander meetkundig 

 beginsel, tot dezelfde standen van kegelsneden ala hier van kegelvlakken ge- 

 vonden wordt; de beschouwing der kegelsneden is wederkeerig met deze 



