( 409 ) 



transversalen hebbende a en b. Uit een punt P van l kan 

 men de constructie uitvoeren even als bij de voorgaande 

 gevallen, en verkrijgt alsdan den omhullingskegel. De snij- 

 kromme met een vlak n zal eene kromme van de vierde 

 orde met drie dubbelpunten zijn, die kan overgaan in eene 

 kromme van de derde orde met dubbelpunt, of', zoo men 

 het vlak n door l legt, in eene kegelsnede met de dubbel 

 tellende lijn, of wel in eene der andere dubbellijnen met 

 nog twee rechte lijnen. 



Het is verder licht in te zien, dat dit geval niet alleen 

 een bijzonder geval is van het geval A dezer afdeeling, 

 maar ook als bijzonder geval van de vorige groep kan 

 beschouwd worden. Hieruit volgt dus eene daarop gegronde 

 constructie van het oppervlak. 



33. De verdeeling van dit oppervlak in soorten steunt 

 weder op het al of -niet aanwezig zijn van klempunten. 

 Deze worden het eenvoudigst gevonden door eene doorsnede 

 te beschouwen van het oppervlak R^ met een vlak tf, ge- 

 bracht door /; n snijdt R 4 volgens de dubbel tellende lijn 

 l en eene kegelsnede c 2 , en de lijnen d en d' in de punten 

 D en D' Elk punt van d nu is de top van een' kegel, 

 die c 2 tot richtlijn heeft ; deze kegel snijdt d' in twee pun- 

 ten, door welke twee beschrijvende lijnen bepaald worden. 

 Zoodra nu deze kegel rakende wordt aan d' ontstaat er een 

 klempunt op d. De bestaanbaarheid van deze klempunten 

 hangt dus af van den stand van d en d' ten opzichte van 

 c 2 , welke stand onderzocht kan worden, door de ligging 

 der punten D en D' ten opzichte van c 2 na te gaan. 

 Er ontstaan alzoo de navolgende soorten. 



a. D en D' liggen buiten c 2 ; D D' snijdt c 2 . 



b. D en D' liggen buiten c 2 ; D D' snijdt c 2 niet. 



c. D ligt buiten, D' binnen c 2 . 



d. D en D' liggen binnen c 2 . 

 en als bijzonder geval : 



e. D D' raakt aan c 2 . 



Het is nu duidelijk te zien, dat de gevallen a en b vier 

 bestaanbare klempunten geven, het geval c twee, terwijl 

 zij in het geval d imaginair zijn. Nog worde opgemerkt, 



