(472 ) 



geregeld. Men neme een punt P op t en trekke door dit 

 punt lijnen, die c 3 snijden ; elke lijn doet een oppervlak van 

 den bundel t c 3 ontstaan, en de puntenrij, door deze be- 

 schrijvende lijnen, uit P gaande, op c 3 bepaald, is projectief 

 met de punteninvolutie, door de vlakkenparen van de vlak- 

 keninvolutie op c 3 uitgesneden. Zulk eene lijn vormt na- 

 melijk met t een raakvlak door P aan een oppervlak van 

 den bundel gebracht. Projecteert men nu uit het snijpunt 

 Q van c 3 met * beide punten rijen op een vlak, dan ont- 

 staan op eene kegelsnede eene puntenrij met daarmede pro- 

 jectieve punteninvolutie ; deze zullen drie gemeenschappelijke 

 homologe punten bezitten; deze punten, met Q vereenigd, 

 geven drie punten P v P 2 , P s op c 3 , welke de drie beschrij- 

 vende lijnen PPi, PP%, PI\ van R 4 * doen ontstaan. Door 

 verplaatsing van P op t worden alle beschrijvende lijnen 

 van R é verkregen. 



38. De doorsnijding van 72 4 met een plat vlak is eene 

 kromme van de vierde orde met een drievoudig punt, ont- 

 staande door eene straleninvolutie, projectief met een kegel- 

 snedenbundel, van welken een der basispunten met het 

 middelpunt van de straleninvolutie tezamen valt. Vereen- 

 voudigde doorsneden worden verkregen door een vlak te leggen 

 door eene beschrijvende lijn Z ; hierdoor ontstaat eene kromme 

 van de derde orde met een dubbelpunt op l gelegen ; legt 

 men een vlak door twee beschrijvende lijnen, dan wordt de 

 doorsnede eene kegelsnede, welke het snijpunt der beide lijnen 

 bevat De twee beschrijvende lijnen kunnen toegevoegd 

 imaginair zijn ; hun vlak is dan evenwel bestaanbaar. Be- 

 schouwt men nu de kegelsnede met eene der beschrijvende 

 lijnen van het oppervlak als één geheel, dan kan de kromme 

 c 3 door haar vervangen worden. De beschr'jvende lijnen 

 van het oppervlak R^ glijden, dan bij hare beweging langs 

 t en twee dezer kegelsneden. 



38. De dubbelrakende ontwikkelbare is op de volgende 

 wijze te construeeren. Men legge een vlak a door twee 

 beschrijvende lijnen, dat dus R^ nog volgens eene kegelsnede 

 c 2 snijdt, en projecteert eene tweede kegelsneden-doorsnede 

 C| 2 op a uit alle punten van t. De geprojecteerde kegel- 



