( 473 ) 



sneden zullen allen met elkander gemeen hebben de beide 

 snijpunten P en Q van c^ 2 met a, het snijpunt T van t 

 met #, en hebben allen tot raaklijn cle snijlijn van a met 

 het vlak, door t rakende aan c v 2 gebracht. Er ontstaat dus 

 een kegelsnedenbundel, van welken elke kegelsnede c 2 , 

 behalve in T, nog in drie punten snijdt; de driehoeken, 

 door verbinding dezer snijpunten ontstaande, omhullen eene 

 kegelsnede d 2 , die ook de zijden van £\ P Q T zal raken 

 en in het algemeen c 2 zal snijden. De drie vlakken, gebracht 

 door een projecteeringscentrum en de daarbij behoorende drie 

 zijden van een driehoek, zijn dabbelrakende vlakken, tot 

 welke ook a behoort. Daar nu de snijlijnen der dubbel- 

 rakende vlakken met een hunner eene kegelsnede omhullen, 

 is de dubbelrakende ontwikkelbare van de derde klasse; 

 hare constructie is hier aangegeven. 



39. Uit de constructie der kegelsnede d 2 is de constructie 

 der klempunten af te leiden. Door klempunten moeten bij 

 dit oppervlak punten verstaan worden, zoodanig, dat daarin 

 twee van de drie raakvlakken te zamen vallen. Elk vlak door 

 een klempunt snijdt dus R* in eene kromme van de vierde 

 orde met een keerpunt, door 't welk een tak gaat. Eene 

 raaklijn van d 2 snijdt in het algemeen c 2 in twee punten, 

 uit welke twee beschrijvende lijnen naar het bijbehoorend 

 punt op t kunnen getrokken worden. Vereenigen zich deze 

 beide snijpunten, m. a. w. wordt de raaklijn aan d 2 gemeen- 

 schappelijke raaklijn, dan is het bijbehoorend punt op t een 

 klempunt ; van de drie beschrijvende lijnen, uit dit klem- 

 punt gaande, vereenigen zich twee tot eene grenslijn. Om 

 nu de klempunten te bepalen, moet men weder de standen 

 van d 2 ten opzichte van c 2 nagaan. 



Trekt men eene raaklijn uit een snijpunt van d 2 met c 2 

 aan d 2 , dan zal deze raaklijn c 2 nog in een tweede punt 

 snijden; de raaklijn, door dit punt aan c 2 getrokken, zal 

 weder raaklijn aan d 2 moeten zijn; want d 2 en c 2 moeten 

 voldoen aan de voorwaarde, dat elke omgeschreven driehoek 

 van d 2 een ingeschreven driehoek van c 2 is. Hieruit volgt, 

 dat c 2 en d 2 evenveel snijpunten als gemeenschappelijke raak- 

 lijnen moeten hebben. 



YEBgL. EN MEDED. AFD. NATUUR. 3<ïe REEKS. DEEL V. 31 



