( 475 ) 



Wat de bijzondere gevallen betreft, zijn er tweeërlei soort 

 doorsneden in de gevallen e en #, en is er slechts één vorm 

 van doorsnede in de overige. De doorsnede door de dubbele 

 klerupunten zal eene kromme van de vierde orde zijn met 

 een bijzonder punt, samengesteld uit twee keerpunten en 

 een dubbelpunt ; dit punt onderscheidt zich op het oog niet 

 van eenig ander punt der kromme. 



Bij de bijzondere doorsneden moet verder opgemerkt wor- 

 den, dat eene doorsnede door eene beschrijvende lijn, welke 

 door een klempunt gaat, eene kromme van de derde orde 

 met een keerpunt is, dat gelegen is op de beschrijvende lijn. 

 Is de beschrijvende lijn tevens grenslijn, dan wordt de door- 

 snede eene kromme van de derde orde met een dubbelpunt, 

 dat de beschrijvende lijn tot raaklijn heeft. In een dubbel 

 klempunt vereenigen zich de drie beschrijvende lijnen; de 

 doorsnede, door de drievoudige lijn gelegd, geeft eene kromme 

 van de derde orde met keerpunt; de keerraaklijn is de drie- 

 voudige beschrijvende lijn. 



Geval B. 



41. Daar in dit geval l zoowel eene beschrijvende lijn 

 van het oppervlak R^ als een onderdeel der basiskromme 

 van den oppervlak kenbum lel is, bezit elk oppervlak van dien 

 bundel eene dubbele beschrijvende lijn. 



Hieruit volgt, dat de oppervlakkenbundel overgaat in een 

 kegelbundel; de kegel vlakken, hiertoe behoorende, hebben 

 hun 1 top op £, de kegelsnede c- is hunne gemeenschappelijke 

 richtlijn, en de puntenrij, op t door de toppen bepaald, is 

 projectief met de vlakkeninvolutie. De beschrijvende lijnen 

 kunnen dus geconstrueerd worden. 



42. De doorsnijding met een plat vlak biedt, vergeleken 

 met de vorige, geen bijzonderheden aan, slechts zal, bij ver- 

 plaatsing der doorsneden, men aan het drievoudig punt altijd 

 ééne raaklijn krijgen, die in een onveranderlijk raakvlak ligt. 

 Yan twee kegelsneden-doorsneden zullen dus de raaklijnen 

 in hare snijpunten met t in dit vlak liggen. 



Eveneens kan onveranderd worden toegepast het beginsel 



31* 



