(477) 



tot overstaande zijden heeft l Y , ? 3 , benevens t, ? 2 . Men neme, 

 even als bij geval A, P op i aan, trekke door P in het 

 vlak P h een' stralenbundel, projectief met de stralenin- 

 volutie door de vlakkeninvolutie in dit zelfde vlak bepaald, 

 en bepale de gemeenschappelijke homologe stralen van beide ; 

 dit zijn de drie beschrijvende lijnen uit P; bij verplaatsing 

 van P wordt het geheele oppervlak beschreven. 



Het kenmerkende onderscheid tusschen dit oppervlak en 

 dat, genoemd in geval A dezer groep, is dus hierin ge- 

 legen, dat bij het laatste drie beschrijvende lijnen, uit een 

 punt van t getrokken, niet in één vlak liggen, terwijl dit 

 bij het hier behandelde wel het geval is. 



Verder is het niet moeilijk in te zien, dat men hetzelfde 

 oppervlak verkrijgt wanneer men op l 2 eene punten invo- 

 lutie aanneemt en deze projectief maakt met de oppervlak- 

 kenschaar, door t / x I 2 1% bepaald, die dus het vlak l 2 in een' 

 stralenbundel snijdt. 



Dit oppervlak is dus met zich zelf wederkeerig ; de lijn 

 L 2 is tevens de dubbelrakende ont wikkelbare. 



De vorm van de vlakke doorsnede van dit oppervlak zal 

 zich niet van dien van de vorige gevallen onderscheiden ; zij 

 heeft een drievoudig punt en de ombullingskegels hebben 

 een drievoudig raakvlak. 



45. Voor het opsporen der klempunten moet een andere 

 weo- ino-eslagen worden dan in het vorige geval, daar de 

 doorsnijding, verkregen door een vlak gebracnt door twee 

 beschrijvende lijnen, bestaat uit drie beschrijvende lijnen en 

 de lijn L. Ten einde ook voor dit geval de klempunten te 

 vinden, legge men een vlak n door ééne beschrijvende lijn l ; 

 dit vlak snijdt t in T en l 2 in L 2 \ T is dan tevens een dub- 

 belpunt van de snijkromme c 3 en L 2 ligt op /. Elk vlak, door 

 l 2 gebracht, snijdt n in eene lijn, die c 3 in drie punten snijdt, 

 welke drie punten men vereenigt met het snijpunt van het 

 bewegelijke vlak met t ; men verkrijgt alzoo in elk vlak 

 drie beschrijvende lijnen. Zoodra twee dezer zich vereeni- 

 o-en, d. i. voor elke raaklijn uit L 2 aan c 3 getrokken, vindt 

 men dus in het daarbij behoorend punt op t een klempunt. 

 Dit creeft aanleiding tot de navolgende gevallen: 



