(479 ) 



construeeren. Even als in het vorige geval is het oppervlak 

 met zich zelf wederkeerig ; de dubbelrakende ontwikkelbare 

 gaat steeds door t. 



47. De doorsnijding met een plat vlak n is wederom eene 

 kromme van de vierde orde met een drievoudig punt; zij 

 ontstaat door de doorsnijding der homologe elementen van 

 eene straleninvolutie met een' kegelsnedenbundel ; deze 

 laatste bundel wordt bepaald door de snijpunten van n met 

 Z x , Z 3 , t en de raaklijn, door het laatst gemelde snijpunt aan 

 alle kegelsneden van den bundel getrokken. De drie raak- 

 lijnen aan dit drievoudige punt worden gevonden door de 

 raaklijn van den kegelsnedenbundel, en het stralenpaar der 

 involutie , dat homoloog is met de bijzondere kegelsnede 

 van den bundel, welke vertegenwoordigd wordt door de snij- 

 lijnen van n met de twee vlakken t li en 1 1 3 . De twee 

 vlakken t l x en t l s vormen nu, bij elkander gedacht, een 

 element van den oppervlakkenbundel, zoodat met dit vlak- 

 kenpaar één bepaald vlakkenpaar der vlakkeninvolutie over- 

 eenkomt ; hieruit volgt, dat van de drie raakvlakken door 

 elk punt der drievoudige lijn gebracht er twee standvastig 

 zijn. Ook bij dit oppervlak liggen voor elk punt drie be- 

 schrijvende lijnen in één vlak. 



48. Daar twee der raakvlakken standvastig zijn, kunnen 

 klempunten alleen voorkomen, als het bewegelijke raakvlak 

 aan een punt van t samenvalt met een der standvastige 

 raakvlakken. Deze punten kan men op de navolgende wijze 

 opsporen. 



Men denke zich een oppervlak R 2 van den oppervlakken- 

 bundel geconstrueerd; dit zal in elk punt van t een raak- 

 vlak bezitten en het raakvlak in een dier punten moet 

 voor den geheelen bundel constant zijn. Dit raakvlak is 

 tevens raakvlak van het scheeve oppervlak R é . Zijn dus 

 nu de standvastige raakvlakken ^ en q 2 van ^ bepaald, 

 dan bepale men de lijn volgens welke een dezer vlakken 

 R 2 snijdt, het snijpunt dezer lijn met t geeft een klempunt. 

 Er zijn dus twee dezer punten; en het oppervlak laat zich 

 naar de bestaanbaarheid dezer klempunten verdeelen. 



Ook bestaat de mogelijkheid, dat het vlakkenpaar ^ en 



