( 480 ) 



q % der vlakkeninvolutie een dubbelvlak der involutie is; 

 alsdan heeft men slechts één standvastig raakvlak, terwijl 

 elk der punten van t tevens een keerpunt van de vlakke 

 doorsnede van R* is. Men komt alzoo tot de volgende 

 soorten. 



a. (> x en q 2 z Ü n bestaanbaar, de vlakkeninvolutie is 

 elliptisch of hyperbolisch; er zijn twee bestaanbare klem- 

 punten. 



b. Qi en (j 2 zijn toegevoegd imaginair, de vlakkeninvo- 

 lutie is hyperbolisch ; er zijn geen bestaanbare klempunten. 



c. (Ji en (j 2 vereenigen zich in één raakvlak (>; de vlak- 

 keninvolutie is hyperbolisch ; er is één klempunt (eigenlijk 

 twee samenvallende klempunten). 



Bij de vlakke doorsneden door deze bijzondere punten 

 zullen, even als bij geval A, weder de verschillende vormen 

 van drievoudige punten zich voordoen. 



VI. Vierde Groep. 



47. Uit de wijze van ontstaan blijkt, dat deze groep uit 

 oppervlakken zal bestaan, die wederkeerig zijn met die van 

 de voorgaande. Het is onnoodig om de redeneeringen op 

 te stellen, noodig om tot de verdeeling in soorten te gera- 

 ken ; voldoende zal het zijn, zoo hier aangegeven worden 

 die gevallen, die verschillend zijn van die der vorige groep. 

 Daar de gevallen C en D der voorgaande groep wederkeerig 

 zijn met zichzelven, zoo behooren zij mede tot deze groep 

 en blijven zij dus verder buiten beschouwing. Voor de o-e- 

 vallen A en B der voorgaande groep komen nu de vol- 

 gende in plaats. 



A. Het ont wikkelbare oppervlak van de derde klasse 

 y z wordt vervangen door een kegelvlak van de tweede klasse 

 y 2 en eene .raaklijn l aan y^. 



B. Deze raaklijn l valt te zamen met de draaglijn der 

 punteninvolutie. 



