( 191 ) 



PAj. 4j A v Aj A> 2 ... Aj Aj-\.Aj Aj j-i. AjAi-\-\... Aj A n i 



PAj±\.Aj f i A x .Aj+\ A 2 ...Aj | ! Aj-] .Aj ^ \ Aj.Aj+] Aj + 2...Aj + \A n . 



En deze twee termen hebben tegengestelde teekens als P A, 

 en P Aj+i hetzelfde teeken hebben en P dus niet op sj 

 ligt, omdat ze de tegengestelde factoren A- Aj t \ en Aj f i Aj 

 bevatten en de overige overeenkomstige factoren Aj Ak en 

 Aj+\ Ak in beide hetzelfde teeken hebben. Dus wordt de 

 bedoelde vorm nul voor een tusschen Aj en Aj+\ gele- 

 gen punt. Zoo blijkt, dat alle segmenten sj een punt X 

 bevatten, uitgenomen het segment waarop P ligt. En valt 

 P met een der punten A samen, dan maakt dit punt A 

 deel uit van het eerste poolstelsel en zijn de n — 2 andere 

 punten gelijkelijk verdeeld over de n — 2 segmenten s, waar- 

 van dit punt A geen grenspunt is. 



Uit bovenstaande stelling, die de projectivische uitbreiding 

 vormt van het bekende theorema van Rolle, volgt onmid- 

 dellijk, dat een puntstelsel A van louter bestaanbare en van 

 elkaar verschillende punten geen eerste poolstelsel toelaat, 

 waarvan twee punten samenvallen. En dit bewijst dan 

 verder, dat er geen tweede, geen derde. .. geen n—2 de 

 poolstelsel met twee samenvallende punten te vinden is. 



Onder den covariant van Hesse, die bij ƒ behoort, verstaat 

 men den van de coëfficiënten van ƒ afhangenden vorm, die 

 nul gesteld de punten doet kennen, waarvan de n — 2 cle 

 poolstelsels, d. w. z. de poolpuntenparen, uit dubbelgetelde 

 punten bestaan. Er is dus bewezen, dat bij een binairen 

 vorm ƒ met louter bestaanbare en verschillende wortels een 

 covariant van Hesse behoort, die nul gesteld een vergelijking 

 met louter onbestaanbare wortels oplevert; deze vorm cp kan 

 dus niet van teeken veranderen als de veranderlijke achter- 

 eenvolgens alle mogelijke waarden doorloopt. Het teeken 

 van dien vorm, dat van diens nadere bepaling afhankelijk 

 is, mag voorloopig het oorspronkelijke heeten. 



Onderstelt men, dat de coëfficiënten van ƒ een vloeiende 

 verandering ondergaan en deze vorm hierdoor geleidelijk 

 overgaat in een anderen vorm f' met paren onbestaanbare 

 wortels, dan kan men zonder aan de algemeenheid te kort 

 te doen aan deze verandering twee beperkingen stellen. Men 



