( 236 ) 



omloop van a langs een der takken van K§ (of langs eene 

 eentakkige K s ) de punten r^m en r 2 denzelfden tak — co (2ra) 

 maal en ( — 5) maal afleggen. Het met hen collineaire punt 

 S2»2+2 verricht dus ö(2m) + 5 positieve omloopen langs de 

 serpentine, zijne projectie p uit het met a op één tak ge- 

 plaatste punt r-2 m ^2 beschrijft dezen tak dan co (2 ra) -f- 5 

 maal in negatieven zin, valt dus co (2 ra) + 6 maal met a 

 samen; even vaak zijn a 0l s2 m -\-2 en r-2 m + i i collineair, zoodat 

 co (2 ra -f- 2) = co (2 ra) -f- 6. Uit deze recursieformule volgt 

 gemakkelijk, dat ö(üm) = 6 ra — 1. 



1. Elk punt van K s behoort tot eene uit (6 m — 1) punten 

 gevormde osculatiegroep Oi m ; alle punten der groep liggen met 

 hun gemeenschappelijk restpunt der orde 2m op denzelfden 

 tak der kromme. 



Doorloopt a in eene bepaalde richting het ovaal, dan 

 beschrijft ri m dien tak (6 ra — 1) maal in tegengestelden 

 zin ; daar tegelijk r^ zich ( — 2) maal over de serpentine ver- 

 plaatst, gaat «2»i+i + (6 ra + 1) maal langs het ovaal ; zijne 

 projectie p uit het op de serpentine willekeurig aangenomen 

 vaste punt r 2m +\ beschrijft derhalve — (6 ra -f- 1) maal het 

 ovaal, ontmoet a dus (6 ra + 2) maal; even vaak worden 

 a , s-2 m +\ en r-2 m -\-\ collineair. Beweegt a zich langs de 

 serpentine, dan verrichten de genoemde punten evenveel om- 

 loopen, maar nu alle langs dezen tak, zoodat a ook op 

 dezen (6 ra -(-2) maal met s-zm+i en r im +\ door eene rechte 

 verbonden wordt. 



2. Elk punt der serpentine van K% is het restpunt der 

 orde (2 ra -f- i) voor (6 ra -f- 2) punten van het ovaal en voor 

 (6 m -f- 2) punten der serpentine. Voor de eentakkige K% be- 

 staat alleen de tweede groep. 



Wordt elke dezer (6 ra -f- 2 j-puntige groepen als eene 

 0-i m ^\ (osculatiegroep der orde 2ra-j- 1) aangeduid, dan geldt 

 de algemeene regel : 



o. Elk punt eener algemeene kubische kromme behoort met 

 (on — 2) andere punten van denzelfden tak tot eene oscula- 

 tiegroep O n . 



Voor drie collineaire punten a Q , a ', a " heeft men blijk- 

 baar : 



