( 238 ) 



restpunten r n de (op de serpentine gelegen) antitangentiaal- 

 punten van r^ n ^\ zijn. 



Deze eigenschap kan uitgebreid worden: de punten met 

 gemeenschappelijk r n hebben ook het eerste, tweede, . . . £ de 

 tangentiaalpunt van r^n—l gemeen, dus de punten ss n — 2 » 

 nfirc-5, S32»-i0» reên~2l enz. Het ordegetal o van elk in 

 deze reeks voorkomend restpunt kan blijkbaar afgeleid wor- 

 den uit de formule o = 4* . n — (4*— ' -f- 4*~ 2 -f • • • 

 . . " . + 4 + 1) = i[4* (3w — 1) + 1]. Dus : 



5. Elke osculatiegroep der orde J [4* (3w — 1) -f- 1] ta- 

 staotf mï 4* osculatiegroepen der orde n. 



Verder hebben de punten eener O n ook gemeen het punt 

 s met den index ■§ [4* -f- 4^(3 n — 1) + 2], dat collineair 

 ligt met de restpunten der orden i[4'(3w — 1)4- 1] en 

 i [4^ (3 n — 1) + 1] » ne ^ tangentiaalpunt van dit punt s 

 is dus voor alle punten der O n het restpunt der orde 

 j[4* + 4*)(6n--2) + 1]. 



6. E^<? osculatiegroep der orde i [(4* -(- 4*) (6n — 2) -j- 1] 

 bestaat uit 2 (4* -)" 4*) osculatiegroepen der orde n. 



Bovendien kan elke osculatiegroep 02«+-l van oneven orde 

 in twee groepen gescheiden worden, overeenkomende met 

 de beide hier in aanmerking komende antitangentiaalpunten 

 van rs^-t-i , die elk voor de helft der groep als & m +.\ dienst 

 doen. Het stelsel der bestaanbare punten van K s , welke 

 het centrum s M +\ gemeen hebben, zal ik als centraalgroep 

 der (m + l) ste orde, S M +\ aanduiden. 



7. Elke uit drie osculatiegroepen der orde (2 m -f- 1) samen- 

 gestelde cf. ((18 m + 6)6»h-2 i (6m -|- 2) 2 3 ) 6éva£ v^r <;ƒ. 

 ((9 m -f- 3)3^+1, (3m 4- 1) 2 3). die elk gevormd worden door 

 drie centraalgroepen. De punten s m +\ dezer zes centraalgroe- 

 pen zijn de toppen eener volledige vierzijde. 



Overeenkomstige eigenschappen gelden voor de splitsing 

 van osculatiegroepen in osculatiegroepen van lager orde. 



Van de cf. onder 4 en 7 kan men gebruik maken, om 

 uit cf., in K 3 beschreven, meer samengestelde cf. af te 

 leiden : 



8. Vult men de punten eener in K% beschreven (3 x q , q a? 3 ) 

 tot osculatiegroepen der w de orde aan, dan ontstaat er eene 



