( 262 ) 



volgens de derde opvatting de vierhoeken : 



a± a^ aj a 10 ; a Q a 9 a 13 a 3 ; a n a 3 a 5 a 8 . 



De bovengenoemde (12 4 , 16 3 ) is regelmatig ten op- 

 zichte van hare punten ; ten opzichte van de vier lijnen 

 ai at-f-4 g/j-8 is zij anders samengesteld als ten opzichte van 

 de twaalf lijnen ai ai+% a/^-5 (i = 1 tot 12). Hiermede 

 hangt samen, dat de 12 3 , welke ontstaat door afschei- 

 ding van eene hoofdvierzijde, waarvan eene lijn van den 

 vorm ai aj+4 ai+$ is en de overige drie van den vorm 

 <H a»-+-3 #2+5 zijn, niet regelmatig is, maar drie op de eerste 

 lijn gelegen pentatrigonische punten bezit, terwijl de ove- 

 rige negen tetratrigonisch zijn. 



Congruentie (5) levert voor q := 1 den bekenden Tg der 

 E 1Q ; voor q r=z 2 vindt men n = 331 ; elke iü 31 bevat dus, 

 behalve een buigpunt, 22 tangentiaalvijftienhoeken, waar- 

 van de punten a/ a/ + .«j a i + io collineair liggen, (i = 1 tot 5). 

 Dus: 



34. Is n het kleinste getal, waarvoor de congruentie 

 22h _j_ ( — 2) }l -f- 1 = o (mod. 3w) z^aar i's, G?em liggen van 

 eiken tot eene plethorische groep der n de orde behoorenden tan- 

 gentiaal-Zh-hoek de punten ai ai^.% a-i+zh (i = 1 tot h) 

 collineair. 



Door uitbreiding dezer beschouwingen kan men de voor- 

 waarden vinden, die vervuld moeten zijn, zal een tangen- 

 tiaalveelhoek eene driepantige diagonaal ai ai ±p a;+ g be- 

 zitten. Men vindt dan den volgenden regel : 



35. Is n het kleinste getal, waarvoor de congruentie 

 ( — 2)P + ( — 2)? = — ] (mod. 3 n) waar gemaakt wordt, dan 

 bezit elke tangentiaalveelhoek der R n de driepuntige diagonalen 



a i Q>i+p a i+q- 



Door toepassing van dezen regel vindt men b.v., dat de 

 lijnen a 4 - o t - + g a i + e voorkomen bij eiken 7 22 ; de plethorische 

 punten der E 2S geven dus aanleiding tot eene 22 3 , waarin 

 ai met de puntenparen ^ +2 a/+6, a;+4 a;+sü ena/+ir, a; + i8 

 collineair is. Trekt men alle lijnen der R 23 , welke niet 

 door het buigpunt gaan, dan worden er nog twee 22 3 ge- 



