( 467 ) 



terwege. Alleen merken we op, dat de laatste kan wor- 

 den uitgebreid op overeenkomstige lijnen van de vier recht- 

 streeks gelijkvormige figuren, beschreven op de driehoeken 



a l a 2 a ?>i a l a ó a 6' a A a 2 a 6' a 4> a 5 °Z *)• 



Brengen we de begrenzende zijvlakken in eikaars verlengde 

 door de opstaande zijvlakken naar buiten om op het grond- 

 vlak neer te slaan, dan ontstaat er (fig. G) een met het 

 grondvlak ABC gelijkvormige driehoek A' B' 6', waarvan 

 A, B, C de middens der zijden zijn. Dus projecteert de top 

 van het viervlak zich op het grondvlak A B C in het snij- 

 punt D der hoogtelijnen van driehoek A' B' C' f). Is H het 



*) Noemen we de vier rechtstreeks gelijke ruimtestelsels door de driehoe- 

 ken a x a 2 a 3 , a x a b a & , a 4 a 2 a 6 , a 4 a h a 3 bepaald F x , F 2i F 3 , F 4 , dan gaan 

 door een draaiing van 180° om A x A 4 als as F l en F 2 , F 3 en F 4 in 

 elkaar over, terwijl dit bij een dergelijke draaiing om A 2 d h met F x en F 3 , 

 F 2 en F 4 , bij een dergelijke draaiing om A 3 A 6 met F x en F 4 , F 2 en F 3 

 het geval is. 



Het punt O is een gemeenschappelijk dubbelpunt. 



Vier overeenkomstige punten P l , P 2 , P 3 , P 4 zijn de hoekpunten van 

 een viervlak, dat in eigenschappen met het gegevene overeenkomt. De 

 inhoud van dit viervlak is standvastig en wel 2 1 a, als het product der 

 afstanden van het punt P x van F x tot de vlakken A 2 J 3 , A 3 OA x , 

 A y O A 2 gelijk a is. Voor punten P x in een dier vlakken gelegen is de 

 inhoud dus nul en liggen de vier punten P x , P 2 , P 3 , P 4 in een zelfde 

 vlak, nl. in hetzelfde der drie genoemde vlakken, waarin P x ligt. 



Een zeer merkwaardige eigenschap dezer vier stelsels F i , F 2 , F 3 , F 4 

 is, dat een willekeurig stel van vier met elkaar overeenkomende lijnen 

 h> h> h> h hyperboloïdische ligging hebben. Men bewijst dit onmiddellijk 

 door met betrekking tot drie onderling loodrechte assen een lijn aan te 

 nemen en hierbij de drie lijnen te zoeken, die door een wenteling van 

 180° om elk der assen worden verkregen. Zoo doet de lijn bepaald door 

 de vergelijkingen y — a x -j- b, z — cx-\-d de hyperboloïde 

 {ad — bc) (aca 2 — bd)z=ic dy** — abz 1 



ontstaan; op deze hyperboloïde hebben de vier beschrijvende lijnen een 



b c 

 dubbelverhouding — (of een der vijf hiermee in verband staande waar- 



a d 

 den). Bij de lijnen van het tetraëdrale complex voorgesteld door de ver- 

 gelijking bc 4- ad — zijn de viertallen van lijnen met hyperboloïdische 

 ligging dus harmonisch. Zoo wordt meer algemeen de drievoudig onein- 

 dige verzameling van lijnen door deze dubbelvcrhoudiug met betrekking tot 

 het assenstelsel in een bundel van tetraëdrale complexen gerangschikt, enz. 

 f) Wijl deze top zich noodzakelijk binnen den driehoek A' B' C' pro- 

 jecteert en het hoogtepunt van een driehoek alleen dan binnen den drie- 



