( 468 ) 



hoogtepunt van driehoek A B C en G het gemeenschappelijk 

 zwaartepunt yan ABC en A' B' C\ dan is D G = 2 GH 

 en het middelpunt van den om ABC beschreven cirkel, 

 d. i. den negenpuntscirkel van A' B' C\ het midden van D H. 

 Volgens de door Hermary *) gegeven constructie van de 

 raakpunten der acht bollen, die de vier zijvlakken aanraken, 

 met het grondvlak, is het duidelijk, dat de bollen in de 

 daken beschreven vervallen, omdat hun middelpunten in het 

 oneindige liggen. Slaan we nl. C B A' om C B naar bin- 

 nen om, dan komt het derde hoekpunt in A" op B' 6"; an- 

 ders gezegd, voor elke ribbe is de som der zes aanliggende 

 vlakke hoeken 360°. Omgekeerd is elk viervlak met drie 

 oneindig groote dakbollen gelijk aan het thans beschrevene. 

 Stelt nl. a de som der vlakke hoeken van A voor en heb- 

 hen (3 en y voor B en C dezelfde beteekenis, dan volgt uit 

 de drie voorwaarden 



ft + y — y + a = a+^ = 360° 



onmiddellijk 



a— (3= y=180°, 



zoodat B' C en C A', enz. in elkaar's verlengde vallen en 

 A' B' C' dus een driehoek is met A, B, C tot middens der 

 zijden. 



De raakpunten der aangeschreven bollen zijn H (het 

 raakpunt van den bol aangeschreven aan het grondvlak) 

 en de op den omgeschreven cirkel diametraal tegenover 

 A, B, C liggende punten A^ B±, C v 



hoek ligt als de driehoek scherphoekig is, is driehoek A' B' C' scherphoekig 

 en dus ook driehoek A B C. Dit is een meetkundig bewijs van stelling a), 

 die overigens onmiddellijk hieruit volgt, dat de zijden van A B C de op- 

 pervlaktediagonalen van een rechthoekig parallelopipedum zijn. Naderen 

 de driehoeken tot rechthoekige, dan nadert het viervlak tot een rechthoek 

 met boven- en ondervlak, waarvan het eene door de eene, het andere door 

 de andere diagonaal in twee rechthoekige driehoeken verdeeld is. 



*) Men vergelijke Bulletin de la Société mathématique de France, deel 

 7 en Wiskundige Opgaven, deel 2 1882—1886, blz. 16. 



