( 469 ) 



Het raakpunt met den ingeschreven bol is O *). 



4. Als men van de twee bij tegenoverstand congruente 

 driehoeken A B C en B A D (fig. 7) den eersten om A B 

 draait tot de afstand tusschen D en het nieuwe punt C ge- 

 lijk is aan r 3 , dan ontstaat het tweede viervlak, dat aan de 

 gestelde eischen voldoet. Hierbij schijnen twee grensvoor- 

 waarden van verschillende beteekenis op te treden. Stellen 

 we r^l — en dit is steeds geoorloofd, omdat vervanging 



van r door den vorm van het viervlak niet aandoet — , 

 r 



dan moet eerstens r 3 ^(l — r) zijn en ten tweede r 3 tus- 

 schen CD en D E liggen. Wijl echter de eerste voorwaarde, 

 die aanwijst, dat er een driehoek met de zijden 1,7*, r z mo- 

 gelijk is, dit ook voor een driehoek met de zijden r, r 2 , r 3 

 aangeeft, moet r 3 tusschen C D en DE liggen, zoodra vol- 

 daan is aan de eerste en dan nu ook eenige voorwaarde. 

 Werkelijk is dit het geval. Want daar CD = r 2 (l — r 2 ) 

 is, herleidt de voorwaarde r s ^> C D zich tot r 2 ^> (1 — r). 



*) De merkwaardige ligging der raakpunten van in- en aangeschreven 

 bollen is reeds door Neuberg opgemerkt (t. a. p., art. 20). Ook is stel- 

 kundig door hem bewezen, dat de omgeschreven bol door de middelpun- 

 ten der aangeschreven bollen gaat (t. a. p., art. 7). 



Onze figuur geeft nog aanleiding tot de volgende opmerkingen: 



De driehoeken ABC, A' B' C', A x B x C x bepalen drie gelijkvormige en 

 gelijkstandige stelsels F x , F 2 , F 3 met de dubbelpunten D, O, G. 



Een reeds wat meer belangwekkend stelsel van drie gelijkvormige figu- 

 ren wordt bepaald door de driehoeken A' B" C", A" B' C", A" B" C', die 

 met de aan de opstaande zijvlakken aangeschreven bollen in verband 

 staan. Van deze figuren F 4 , F 5 , F 6 hebben F h en F s het punt A" tot dub- 

 belpunt, terwijl B" en C" achtereenvolgens dezelfde beteekenis hebben 

 voor de paren F 6 en F 4 , F 4 en F s . Dus is de om. A B C beschreven cir- 

 kel de gelijkvormigheidscirkel der drie stelsels, zijn A x , B Xy C x de //onver- 

 anderlijke punten", is D het //richtpunt", enz. 



We vermelden deze uitkomsten slechts terloops, omdat we bij het vol- 

 gende viervlak meer samengestelde stelsels zullen beschouwen. 



N.B. De naam //richtpunt" komt niet voor bij Casey (t. a. p.); ze is 

 ontleend aan Takry's verhandeling //Sur les figures semblables associées" 

 {Mathesis, deel 6, 1886, blz. 148) en komt o. a. ook voor in W. S. M'Cay's 

 verhandeling //On three similar figures, etc." (Transactions of the royal 

 irish academy, deel 29, stuk 10, van Juli 1889). 



