( 471 ) 



en dus ook B = 2 oy. Werkelijk liggen de beide punten van 

 Brocard op de deellijn van den middelsten hoek B en ligt 

 in deze bijzonderheid het eigenaardige kenmerk des drie- 

 hoeks 1, r t 1 *). 



Daar k tusschen 2 en [/ 5 ligt, is de middelste hoek B 

 begrepen tusschen 60° en 0° en dus de hoek van Brocard 

 tusschen 30° en 0°. Omdat 30° de volstrekte maximumwaarde 

 is van gj, kan oo dus alle overigens ook mogelijke waarden 

 hebben. 



Zij P (fig. 9) het midden van de grootste ribbe A B, Q 

 dat van de kleinste ribbe C D en O dat van P Q. Projecteeren 

 wij de ribben van het viervlak op het in O loodrecht op 

 P Q aangebrachte vlak. Omdat de projecties A' B' en C' D' 

 van AB en CD elkaar in O middendoordeelen, is A' C' B' D' 

 een parallelogram. Dus zijn A' C' en D s B\ A' D' en C' B' 

 paren van evenwijdige lijnen en snijden de bij A C en D B, 

 A D en CB behoorende lijnen van kortsten afstand de lijn P Q 

 in verschillende punten loodrecht; dus kruisen deze lijnen 

 elkaar onder de hoeken van het parallelogram A' Cj B' D'. 



Voor we verder gaan, drukken we enkele met het vier- 

 vlak in verband staande grootheden uit in r en, als dit een- 

 voudig geschieden kan, in k. Daartoe stellen we achtereen- 

 volgens door g), cp r , g) r>2 , ip de scherpe hoeken voor, waaronder 

 AB en Cl), A C en B D, A D en BC elkaar kruisen en 

 de zijden van het parallelogram elkaar snijden, door /, m, n 

 cle afstanden der paren overstaande ribben en door V den 

 inhoud van het viervlak. Dan vinden we 



« s = — — (1 + r*) (1 - 3r2 + r% 



*) Wijl de coördinaten der punten van Brocard bij een driehoek met 



t x c a b h c a 



de zijden a, o, c evenredig zijn met —*, — , — en — , — , — zijn ze hier 



o c a c a b 



evenredig met r 3 , 1, r 3 en 1, r 3 , 1; dus is hun vereenigingslijn de lijn 



x-zzz. Liggen omgekeerd de beide punten met een der hoekpunten B 



op een rechte lijn, dan zal deze lijn den hoek B moeten middendoor- 



c b 



deelen en ~r ==: — moeten zijn. 

 b a 



