( 478 ) 



Daar de figuren der driehoeken A B C, B'C'A', C" A" B" 

 door een punt gaande drietallen van overeenkomstige lijnen 

 toelaten, moeten de cirkels A B f C", BC'A", C A' B" door 

 het gemeenschappelijk punt Q der stelsels gaan. We beves- 

 tigen dit door rechtstreeks de drie dubbelpunten der figuren 

 twee aan twee te bepalen. 



e) We duiden de driehoeken verder aan door U 1 \\ W l , 

 U 2 V 2 W 2 , C/3 F 3 W s (fig. 12) en zoeken nu het dubbelpunt 

 Q van de figuren F 2 en F%. Daartoe brengen we volgende 

 constructie in toepassing. Zijn twee rechtstreeks gelijkvor- 

 mige figuren bepaald door twee segmenten D E en D' E' van 

 twee elkaar in £ snijdende lijnen, dan is het dubbelpunt dier 

 figuren het tweede snijpunt der cirkels D D' S en E E'S*). 



Denken we ons F 2 en F s bepaald door U 2 V% en U 3 F 3 , 

 dan is het dubbelpunt het tweede snijpunt der cirkels U 2 U b P 

 en V 2 V 3 P. Van deze cirkels gaat de eerste ook door U^ 

 omdat de hoeken Uj en U 2 , die op den boog P U 3 staan, 

 gelijk zijn, en de tweede ook door F^, omdat de hoek V 3 V Y W s 

 het supplement is van 6', d. i. van W 3 V 2 V 3 . Dus is het 

 gezochte punt op de cirkels V Y V 2 V d en W x W 2 W 3 gele- 

 gen. Evenzoo bewijst men, dat het op den cirkel U l U 2 U 3 

 lia-t, door van U 2 W 2 en Z7 3 W 3 uit te gaan. Dus hebben 

 de cirkels Ü 1 U 2 U% , V 1 V 2 F 3 , W Y W 2 W s een punt gemeen 

 en is dit punt het dubbelpunt van F 2 en F 3 . Maar langs 

 denzelfden weg blijkt het ook het dubbelpunt te wezen van 

 F s en jFj, enz. 



ƒ) Voert het tegelijkertijd naar buiten en het tegelijker- 

 tijd naar binnen omslaan der opstaande zijvlakken tot twee 

 driehoeken, die rechtstreeks gelijkvormig zijn met A BC, zoo 



waarin <p niet voorkomt, zoodat de voorwaarde ^ 2 = onafhankelijk is 

 van (p. 

 Nemen we in /\ voor 9 de waarde nul, dan is de voorwaarde door 



p — cos x q — cos (3 



sin cc sin [3 



voorgesteld, wat dan ook juist uitdrukt, dat drie overeenkomstige punten 

 op een cirkel liggen, die dooi den oorsprong gaat. 



*) Casey, t. a. p. 



