( 480 ) 



AB'C', BA! C, CB'A\ (fig. 10) en die van de driehoeken 

 AB"C", BA"C, CA"B". We laten de behandeling dezer 

 figuren achterwege. 



h) We maken nog opmerkzaam op het gelijkbeenige tra- 

 pezium W 2 V 2 V 3 U 3 (fig. 12), dat door twee lijnen in drie 

 gelijkvormige driehoeken is verdeeld. Nemen we de kleinste 

 zijde van den kleinsten driehoek tot eenheid aan, dan komen 

 in dit trapezium de lijnen 1 , ?% r 2 , r 3 , r 4 voor. En dan is 

 Z7 5 F 6 = r* (fig. 13). ' 



De vierhoek P B" C' B (fig. 11) is wel een gelijkbeenig 

 trapezium ; maar dit trapezium is alleen gelijkhoekig en niet 

 gelijkvormig met A' C' A" C" •). 



Groningen, 1 Sept. 1889. 





*) Hoewel de beschouwing van de vier rechtstreeks gelijkvormige ruim- 

 tefiguren P,, P 2 , F 9) F 4 door de driehoeken ABC, BAD, A C D, BBC 

 (fig. 9) bepaald een afzonderlijke behandeling vereischt, merken we hier 

 ten slotte terloops het volgende op. 



De figuren P, en P 2 zijn rechtstreeks gelijk en gaan door een draaiing 

 van 180° om F Q in elkaar over; evenzoo de figuren F 3 en P 4 . 



De figuren P, en P 3 hebben A tot dubbelpunt. Zetten we van A uit 

 naar B, C, J) op A B, AC, AD gelijke stukken AB { , AC X , AD, af, 

 dan is de loodlijn uit A op het vlak B t C x D t een met zich zelve over- 

 eenkomende lijn, het vlak door A evenwijdig aan het vlak B t C t D x een 

 met zich zelf overeenkomend vlak der beide figuren. Door F x een zekeren 

 hoek om de aangewezen lijn te draaien en de voerstralen van A uit met 

 r te vermenigvuldigen wordt P 3 verkregen. 



Evenzoo hebben de figuren P 2 en F 4 het punt B, de figuren F { en F 4 

 het punt C, de figuren F$ en F z het punt D tot dubbelpunt. 



Vier overeenkomstige punten P l} F 2 , F s , P 4 zijn de hoekpunten van- 

 een viervlak, waarvan de ribben Pi P 2 en P 3 P 4 de lijn FQ tot mediaan 

 en lijn van kortsten afstand hebben. 



Vier overeenkomstige lijnen hebben in het algemeen geen hyperboloï- 

 dische ligging, enz. 



Deze uitkomsten en die van de 2 de noot van art. 3 kunnen ons tot de 

 opmerking voeren, dat de overdracht van de voor het platte vlak ver- 

 kregen resultaten op de ruimte, die in den aanhef van dit opstel bedoeld 

 werd — en dit is dan nog optimistisch uitgedrukt — niet langs dezen een- 

 voudigen weg geschieden kan. In het geval van het regelmatige gelijk- 

 beenige viervlak hebben de vier rechtstreeks gelijke stelsels een gemeen- 

 schappelijk dubbelpunt en elk der zes combinaties dier stelsels twee aan 

 twee een lijn van dubbelpunten. In het geval van het onregelmatig 

 gelijkbeenige viervlak komt een lijn van dubbelpunten slechts bij twee 



