( 124 ; 



X = 2 (m— 2) (m—S) + 2 D(m— 6) 



raaklijnen, die haar in een tweede punt snijden; m. a. w. de 

 dubbelkromme op het door R ,n bepaalde ontwikkelbare opper- 

 vlak vertoont X keerpunten. 



Voor het bewijs beschouwt men het tweevoudig oneindig 

 stelsel van figuren, ieder bestaande uit een punt p van R n , 

 een raaklijn g, benevens het door die beiden bepaalde vlak 

 e. Er moet hier worden gezocht, hoeveel malen er coïnci- 

 dentie plaats vindt tusschen p en g. Yoor een dergelijk 

 stelsel geldt de volgende betrekking tusschen tweevoudige 

 voorwaarden : 



e.s = p e + g p *). 



Het is slechts noodig de getallenwaarden op te sporen, 

 die in dit bijzondere geval door de daarin voorkomende 

 symbolen worden aangeduid. Vooreerst is g p nul; geen raak- 

 lijn g gaat door een aangenomen punt. Voor p e moet 

 m (r — 2) gesubstitueerd worden, omdat door ieder der m 

 punten van R" 1 in het vlak der voorwaarde p een aantal 

 van (r — 2) f) raakvlakken gaan, die het punt der voor- 

 waarde e bevatten. Aan de voorwaarde e e is voldaan door 

 de X raaklijnen <?, die de kromme ergens in p snijden. Maar 

 er zijn oneigenlijke coïncidenties, en ik wil er reeds hier 

 op wijzen, dat het bepalen van het aantal daarvan gewoon- 

 lijk de grootste moeielijkheid is, die het gebruik der for- 

 mules van Schubert met zich brengt. Jntusschen ziet men 

 spoedig in, wat hier ais oneigenlijke coïncidentie moet wor- 

 den beschouwd. Een osculatievlak, dat men door het gege- 

 ven punt der voorwaarde e e aanbrengt, bevat drie opvol- 

 gende punten der kromme A^ A% en A%. Daar nadert A l 

 onbepaald tot de raaklijn A 2 /1 3 , het punt A s op dezelfde 

 wijze tot de raaklijn A x A 2 , waardoor in elk zoodanig oscu- 

 latievlak twee, dus in het geheel 2 n oneigenlijke samen- 



*) Schubert, t. a. p., blz. 83, form. 17. 



f) Men raadplege de uitstekende tabel van Salmon op blz. 298 van 

 zijn werk Geometry of three dimensions. 4 th Ed. 



