( 126 ) 



2. De ruimtekromme R m bezit 



X 1= 6(tti— 3) (m— 4) -f- 18 D (m— 4) + 12 £>(£>— 1) 



osculatievlakken , die haar in een tweede punt aanraken. 



Voor het bewijs van deze stelling voegt men aan ieder 

 dubbelraakvlak e der kromme toe het osculatievlak ƒ in een 

 der beide raakpunten, welke beide vlakken elkaar volgens 

 een raaklijn g der kromme doorsnijden. In het aldus ver- 

 kregen enkelvoudig oneindig stelsel van vlakkenparen wordt 

 dan met behulp van de formule 



e = e + f-g*) 



het aantal coïncidenties van e en ƒ gezocht. Vooreerst is 

 hierin e = 2 ?/, waarin y aangeeft, hoeveel dubbelraakvlak- 

 ken e door een aangenomen punt gaan. Want aan elk vlak 

 e zijn twee vlakken ƒ toe te voegen. Vervolgens bepaalt 

 de voorwaarde ƒ een aantal van 77, de voorwaarde g een 

 aantal van r raaklijnen #, en het is de vraag hoeveel vlak- 

 ken door een bepaalde raaklijn g kunnen worden gelegd, 

 die de kromme in een tweede punt aanraken. Tot de beant- 

 woording voert de volgende overlegging. De doorsnede van 

 het door de raaklijnen van R" 1 gevormde ontwikkelbare 

 oppervlak met het osculatievlak in een willekeurig punt 

 A bestaat uit de tweemaal te tellen raaklijn in A bene- 

 vens een kromme van den graad {r — 2), die in A de ge- 

 noemde raaklijn aanraakt, en haar verder in (r — 4) pun- 

 ten snijdt. Iedere raaklijn van R' n wordt dus door (r— 4) 

 andere getroffen; door een raaklijn g gaan (r — 4) vlakken e, 

 zoodat : 



f=n(r— 4), 

 g — r (r— 4). 



Wat de voorwaarde £ betreft, ieder elders rakend oscula- 

 tievlak levert één coïncidentie. Oneigenlijke samenvallingen 



*) Schübert, t. a. p., blz. 49, form. 1. 



