( 149 ) 



3 $ 3 = m' (u- 2)-*'— J [S—2) — 12 l A . {ju + 4-4 S) — 

 -4^(5-1)^-3), 



waarin de grootheden van het rechter lid alle uit de vorige 

 artikelen bekend zijn. 



Deze uitkomst verliest weder haar geldigheid, wanneer 

 Ty- is een oppervlak van den tweeden graad, waarop twee 

 groepen van beschrijvende lijnen liggen, of wanneer iedere 

 beschrijvende lijn in meer clan drie punten op R m rust. 

 Zullen drievoudige punten op R' n ' zich voordoen, dan moet 

 m minstens gelijk zes zijn. De substitutie m = 6 levert 

 achtereenvolgens : 



^ = 20— 4 2), d — 6 — D, / 4 = -(D— 3)(/)— 4), 



m ' = (D—3) (3Z>— 14) , £ = (#— 3) {D 2 — D— 18} , 

 k' = 2 (Z>— 3) (D* + 2 Z>— 26) , 



e n eindelijk 



♦s = - l (» + 1) (Ö-2) (D-3) (D-4). 



De enkelvoudige kromme i? 6 is hoogstens van het geslacht 

 vier, de gevonden uitdrukking voor $ 3 is derhalve of nul, 

 of positief. Dat in de gevallen D = 2, 3 of 4 het getal 

 $ 3 nul is, was te verwachten ; in dat geval is toch het aan- 

 tal der schijnbare dubbelpunten h < 9, en drie drievoudige 

 koorden door één punt zouden negen enkelvoudige koorden 

 door dit punt vertegenwoordigen. 



Een bijzonder voorbeeld, geschikt om de uitkomst voor 

 $ 3 te controleeren, levert de doorsnede R 9 van twee opper- 

 vlakken van den derden graad (r 3 , waarvoor het geslacht 

 de waarde tien heeft. 



IV. Alvorens daartoe over te gaan, is het evenwel noodio-, 

 eerst de klasse van de beide FP- dubbelaanrakende ontwik- 

 keibare oppervlakken a en O a , te zoeken. Het is duidelijk, 

 dat nu op h* twee veelvoudige krommen R' n en R m ' voor- 

 komen, er ook twee dergelijke ontwikkelbare oppervlakken 

 zijn. Men kan namelijk dubbelraakvlakken aanbrengen, zoo- 

 wel door een paar drievoudige koorden, die hun snijpunt op 



