( 158 ) 



c 34 in negen basispunten van een bundel vlakke krommen 

 van den derden graad moet snijden. 



Zes van deze basispunten komen daarbij drie aan drie 

 op twee rechte lijnen, liet laatste drietal moet dus ook op 

 een rechte lijn liggen. Zulk een raakvlak van R G bevat der- 

 halve steeds het snijpunt P van c 34 met het vlak van C 2 , 

 dat is het snijpunt van c 34 en c J2 - Omgekeerd is het dui- 

 delijk, dat een vlak door P, waarin één drievoudige koorde 

 van li G ligt, een tweede dergelijke koorde bevat. 



Het vierde poolvlak van een willekeurig punt ten op- 

 zichte van FF- is van den graad 8 ; het zal de viervoudige 

 kromme R G , behalve viermaal op c 34 , in 44 punten snijden, 

 waar een raakvlak aan FF- door het willekeurige punt gaat. 

 Daarmede is alvast de uitkomst k = 44 bevestigd. 



Van de 44 vlakken nu, die door P gaan en FF op Ji G 

 aanraken, moet men de vier vlakken afnemen, die, door c 34 

 gebracht, in een van de vier punten, waar deze lijn op R G 

 rust, de raaklijn dezer kromme bevatten. En wel driemaal, 

 want zulk een vlak bevat telkens een raaklijn van R G en 

 drie samengevallen drievoudige koorden. In de 32 overige 

 liggen, zooals besproken is, telkens twee drievoudige koor- 

 den, en men besluit dat er § = 16 punten te vinden zijn 

 op i? 6 , waar de raaklijn en twee beschrijvende lijnen van 

 FF in één vlak gelegen zijn. Wat met de vroeger verkregen 

 uitkomst overeenstemt. 



De raak kegel uit P aan FF vormt, zooals uit het voor- 

 afgaande blijkt, hier het ontwikkelbare oppervlak O a '. De 

 raakkegel uit een willekeurig punt van de viervoudige lijn 

 aan Ff is van de klasse 12—4 = 8. Ieder raakvlak door P 

 is evenwel een dubbelraakvlak, zoodat die dubbelraakvlakken 

 een kegel van de klasse o' = 4 omhullen. 



Ten slotte kost het weinig moeite om m op te sporen. 

 Men behoeft slechts de snijpunten van R" 1 ' met G s te tellen. 

 De viervoudige lijn wordt door 4 andere gesneden, zoodat 

 zij de dubbelkromme alleen op R G ontmoet, en wel telkens 

 één tak. 



Behalve die 4 snijpunten van R' n ' en G s , heeft men §=16 

 snijpunten op R G en de 4 onderlinge snijpunten van de op 



