( 54 ) 



Trekt men bij ieder tweetal vormen den tweeden van den 

 eersten af, dan komt men na geringe vereenvoudiging neer op 



^ \/b +- 2 // (—l/a— l/c) + (2 l/a-l/6-2 l/c). 



Volgens de vergelijkingen (D) zijn de door dezen vorm aan- 

 gewezen elementen de gemeenschappelijke richtlijnen g en g" 

 van de hyperboloïden ZJ 8 en B 7 , Die lijnen zijn dus de ge- 

 meenschappelijke elementen van de involuties der groep III. 



Het kost weinig moeite dit onderzoek ook tot de overige 

 groepen uit te strekken, en tot het besluit te geraken, dat 

 de gemeenschappelijke elementen der involuties van 



groep 



I 



II 



III 



IV 



aanwijzen de richtlijnen g' en g 

 meen aan de hyperboloïden 



ge- 



#! en H 5 

 H 2 en ff 6 

 H 3 en Hrj' 

 H^ en H s 



De elementen ti, A", l\ . . . n", die wij in de voorafgaande 

 beschouwingen aantroffen, kunnen door meetkundige con- 

 structie worden bepaald. Ook het opsporen der lijnen g' en g" 

 kan derhalve werkelijk langs meetkundigen weg geschieden. 

 Als men de daartoe benoodigde constructies herhaalt, maar 

 nu met betrekking tot de regelschaar (124) worden van 

 iedere hyperboloïde H vier richtlijnen gevonden ; daarmede 

 zijn die oppervlakken zelve geconstrueerd. 



6. Wij willen nagaan onder welke omstandigheden de 

 beide lijnen g' van g" van een paar zouden kunnen samen 

 vallen Met dit doel berekenen wij de discriminanten zoowel 

 voor de vier vergelijkingen (D) als voor de 12 andere, die 

 ten opzichte van de regelscharen (234), (314), (124) van 

 overeenkomstige beteekenis zijn. In de volgende tabel zijn 

 de uitkomsten van die berekening opgenomen. 



Discriminanten. 



(234) 



314) 



(124) 



(321) 



a + bf c—2 {/Tc— 2 [/ca — 2 [/ab 



H X H % 



B 2 H 8 



#3#8 



H i & 8 



a+b + c + 2[/bi+2)/c~a—2l/ab 



#2# 7 



H \Hrj 



H±Hl 



H S H 7 



a + b + c-\-2\/bc—2\/c~a~+2\/~ab 



#3^6 



H±Hq 



Z?li7 6 



**& 



a+b + c—2 [/bc+2 [/c~a+2 [/ ' ab 



#4#5 



H,H b 



S 2 H S 



RxB & 



